2010年湖南省邵阳市洞口三中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

2. 难度：中等

如图，已知U是全集，M，P，S是U的非空子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A．（M∩P）∩S
B．（M∩P）∪S
C．（M∩P）∩∁_US
D．（M∩P）∪∁_US

3. 难度：中等

命题p：∀x∈[0，+∞），（log₃2）^x≤1，则（ ）
A．p是假命题，￢p：∃x∈[0，+∞），（log₃2）^x＞1
B．p是假命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log₃2）^x＞1
C．p是真命题，￢p：∃x∈[0，+∞），（log₃2）^x＞1
D．p是真命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log₃2）^x≥1

4. 难度：中等

设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和椭圆的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x，y）∈D，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6

5. 难度：中等

已知函数f（x）=cossinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x₁）=-f（x₂）则x₁=-x₂
②f（x）的最小正周期是2π
③在区间[]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=
其中真命题是（ ）
A．①②④
B．①③
C．②③
D．③④

6. 难度：中等

若过点A（3，0）的直线l与曲线（x-1）²+y²=1有公共点，则直线l斜率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数图象上的动点P到直线y=2x的距离为d₁，点P到y轴的距离为d₂，则d₁d₂=（ ）
A．5
B．
C．
D．不确定的正数

8. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0．则当n∈N^*时，有（ ）
A．f（-n）＜f（n-1）＜f（n+1）
B．f（n-1）＜f（-n）＜f（n+1）
C．f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）
D．f（n+1）＜f（n-1）＜f（-n）

二、解答题

9. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点坐标是    ．

10. 难度：中等

已知n为正偶数，且（x²-）ⁿ的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是    （用数字作答）

11. 难度：中等

碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半，经探测，一块鱼化石中碳14的残留量约为原始含量的46.5%．设这群鱼是距探测时t年前死亡的，则t满足的关系式为    ．

12. 难度：中等

已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x，y）值依次记为（x₁，y₁）（x₂，y₂），（x_n，y_n），
（1）若程序运行中输出的一个数组是（9，t），则t=   
（2）程序结束时，共输出（x，y）的组数为    

13. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为θ∈[0，π]，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂在极坐标系中的方程为．若曲线C₁与C₂有两个不同的交点，则实数b的取值范围是     ．

14. 难度：中等

如图，PT切圆O于点T，PA交圆O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=    ．

15. 难度：中等

若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的北偏东α角，前进4km后在B处测得该岛北偏东β角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．
（1）若α=2β=60，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险？
（2）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？

17. 难度：中等

甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（Ⅰ）若右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件？
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
注：“n=0”，即为“n←0”或为“n：=0”．

18. 难度：中等

（理）已知ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且==λ（0＜λ＜1）．
（1）求证不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°，求λ的值．

19. 难度：中等

在长、株、潭三市获国务院批准的“两型城市后”后，省政府决定关闭一批高能耗、高污染的中小型企业，并制定对企业的转岗员工的经济补助方案如下：第一年到政府社保部门领取关闭前工资的100%，从二年起，以后每年在社保部门按上一年补助金的发放经济补助金．同时政府负责对企业进行调整改造，转型为转岗人员再就业的经济实体，经济实体第一年为投资阶段没有利润，第二年每人可获得利润分红收入b元，根据市场预测，从第三年起利润分红收入可以在上一年的基础上增加50%．如果某员工转岗前的工资收入为a元，转岗后第n年的收入为a_n元．
（1）试用转岗后的年数n表示该员工的经济总收入a_n；
（2）若b=该员工哪年的总经济收入最少？并求最少收入；
（3）若b≥，问是否一定可以保证该员工转岗一年后的总收入永远超过转岗前的收入？并说明理由．

20. 难度：中等

椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B．点P双曲线C₂：=1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C₁分别交于C、D点．若△ACD与△PCD的面积相等．
（1）求P点的坐标；
（2）能否使直线CD过椭圆C₁的右焦点，若能，求出此时双曲线C₂的离心率，若不能，请说明理由．

21. 难度：中等

已知，g（x）=e^x-e^2-x+f（x），
（1）若f（x）在处取得极值，试求c的值和f（x）的单调增区间；
（2）如图所示，若函数y=f（x）的图象在[a，b]连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈（a，b），使得，利用这条性质证明：函数y=g（x）图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4．