2011年上海市松江区、徐汇区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数的定义域为    ．

2. 难度：中等

抛物线y²=4x的准线方程是    ．

3. 难度：中等

方程4^x+2^x-2=0的解是    ．

4. 难度：中等

若，则行列式=    ．

5. 难度：中等

已知向量，则向量在向量的方向上的投影为    ．

6. 难度：中等

若展开式的第4项含x³，则n的值为    ．

7. 难度：中等

已知无穷等比数列{a_n}的各项和为4，则首项a₁的取值范围是    ．

8. 难度：中等

若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=    ．

9. 难度：中等

一颗骰子投两次，记第一次得到的数值为a，第二次得到的数值为b，将它们作为关于x、y的二元一次方程组的系数，则方程组有唯一解的概率为    ．（用数字作答）

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），若函数y=f（1+x）的图象经过点（3，1），则函数y=f^-1（x）的图象必经过点    ．

11. 难度：中等

函数f（x）=lg（x²-ax-1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=3，点在直线上，则=    ．

13. 难度：中等

已知x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，x²，-y这四个数据的平均数为1，则的最小值为    ．

14. 难度：中等

定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令．给出以下四个命题：（1）若与共线，则；（2）；（3）对任意的λ∈R，有；（4）=．（注：这里指与的数量积）其中所有真命题的序号是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知a，b都是实数，那么“a²＞b²”是“a＞b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（ ）
A．=（-1，-2）
B．=（2，1）
C．=（1，-2）
D．=（-2，1）

17. 难度：中等

在直角坐标平面xOy中，已知点A（3，2），点B在圆x²+y²=1上运动，动点P满足，则点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线

18. 难度：中等

函数y=的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

已知关于x的不等式的解集为P，不等式|x-1|＜1的解集为Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若P∪Q=P，求正数a的取值范围．

20. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB．
（1）求cosB的值；
（2）若，且，求a和c的值．

21. 难度：中等

设函数．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当0＜a＜1时，试判断函数f（x）的单调性，并证明．

22. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），数列{c_n}满足，数列{c_n}的前n项和为T_n，当n为偶数时，求T_n；
（3）若数列，甲同学利用第（2）问中的T_n，试图确定T_n-P_n的值是否可以等于20？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．

23. 难度：中等

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知椭圆C：．
（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN，求MN的长度；
（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）（如图），求x_E⋅x_F的值；
（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为，MN是任意一条垂直于x轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究x_E⋅x_F是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线中相类似的结论，并证明你的结论．