2010-2011学年湖南省四市九校高三第一次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

2. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）
B．
C．（0，1）
D．

3. 难度：中等

已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

4. 难度：中等

以（a，0）为圆心，a为半径的圆的极坐标方程为（ ）
A．ρ=2asinθ
B．ρ=2acosθ
C．ρ=acosθ
D．ρ=asinθ

5. 难度：中等

将函数的图象向右平移个单位后，其图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（ ）

A．k≥16
B．k＜8
C．k＜16
D．k≥8

7. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得=4a₁，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

8. 难度：中等

设函数f（x）=，[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.2]=-2，[2.3]=2则函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域为
（ ）
A．{0}
B．{-1，0}
C．{-1，0，1}
D．{-2，0}

二、解答题

9. 难度：中等

已知函数=    ．

10. 难度：中等

已知x²+y²=4，则2x+y的取值范围为    ．

11. 难度：中等

向量=（cos15°，sin15°），=（sin15°，cos15°），则|-|的值是    ．

12. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域为M，x²+y²≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为    ．

13. 难度：中等

一个空间几何体的三视图均是边长为的正方形，则以该空间几何体各个面的中心为顶点的多面体的体积是    ．

14. 难度：中等

在平面几何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，点A在BC边上的射影为D，有AB²=BD•BC．”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有   

15. 难度：中等

设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f'（x），f'（x）在（a，b）上的导函数为f''（x），若在（a，b）上，f''（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知．
（Ⅰ）若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，则实数m=   
（Ⅱ）若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，则b-a的最大值为    ．

16. 难度：中等

已知向量，其中（x∈R，ω＞0），函数的最小正周期为π，最大值为3．
（I）求ω和常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

17. 难度：中等

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数；
（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x-y|≤5的事件概率．

18. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若点E是线段PB的中点，求证：AE∥平面PCD．

19. 难度：中等

某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长5%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．以2009年为第一年，那么，到哪一年底，
（Ⅰ）该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米？
（Ⅱ）所有建造的中低价房的面积占建造总住房面积的比例首次大于75%？
（附：可参考数据：1.05²=1.103，1.05³=1.158，1.05⁴=1.216，1.05⁵=1.276；1.05⁶=1.340）

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，点M到点F₁、F₂的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数k，使以线段PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使对任意的x₁，x₂∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．