2010-2011学年江西省九江市六校高三（下）4月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，复数，则z²等于（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

2. 难度：中等

已知集合A={y|y-2＞0}，集合B={x|x²-2x≤0}，则A∪B等于（ ）
A．[0，+∞）
B．（-∞，2]
C．[0，2）∪（2，+∞）
D．R

3. 难度：中等

已知A是△ABC内角，命题p：；命题q：，则q是p的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}中，a₁=1，a₃a₇=4a₆²，则S₆=（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

函数的值域是（ ）
A．（0，+∞）
B．（0，1）
C．（0，1]
D．[1，+∞）

6. 难度：中等

如图在算法框图的判断框中，若填入i＜6，则输出S的值为（ ）

A．120
B．720
C．24
D．240

7. 难度：中等

在一球内有一边长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知p：存在x∈R，使mx²+1≤0；q：对任意x∈R，恒有x²+mx+1＞0．若p或q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥2
B．m≤-2
C．m≤-2，或m≥2
D．-2≤m≤2

9. 难度：中等

若直线ax+2by-2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则+的最小值为（ ）
A．1
B．3+2
C．5
D．

10. 难度：中等

已知双曲线C：的右支上存在一点P，使得点P到双曲线右焦点的距离等于它到直线（其中c²=a²+b²）的距离，则双曲线C离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在[60，70）的学生有40人，则成绩在[70，90）的有    人．

12. 难度：中等

已知向量，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是     ．

13. 难度：中等

如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为y=a+bx，其中已知b=1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用约为    ．

15. 难度：中等

已知P（x，y）是抛物线y²=2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：
在y²=2px两边同时对x求导，得：，所以过P的切线的斜率：试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为    ．

16. 难度：中等

设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=，a=2bcosC，求：
（Ⅰ）角B的值；
（Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cos（2x-B）在区间上的最大值及对应的x值．

17. 难度：中等

为调查本市2011年高三二模考试数学的成绩，随机抽取某中学甲、乙两班各十名同学，获得成绩数据的茎叶图如图（单位：分）．
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均水平较高；
（Ⅱ）现从甲班这十名同学中随机抽取两名，求
至少有一名同学分数高于乙班平均分的概率．

18. 难度：中等

在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，
∠ACB=90°，AE=2CD=2．
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：DF⊥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱锥D-BCE的体积．

19. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）若在x=-1处有极值，求a的值及f（x）单调区间
（Ⅱ）如果对任意x∈[1，2]，f^′＞a²恒成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A₁A₂，P为双曲线上一点（不同于A₁，A₂），直线A₁P、A₂P分别与直线l：交于M、N两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）求证：•为定值．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*）试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．