2010-2011学年安徽省合肥一中及其联谊学校高三第三次全省大联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U，集合A⊆B⊆U，则有（ ）
A．A∩B=B
B．A∪B=A
C．（∁_UA）∩（∁_UB）=∁_UB
D．（∁_UA）∪（∁_UB）=∁_UB

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²+x-2≥0，则命题¬p是（ ）
A．∀x∈R，x²+x-2＜0
B．∃x∈R，x²+x-2≥0
C．∃x∈R，x²+x-2≤0
D．∃x∈R，x²+x-2＜0

3. 难度：中等

若平面向量=（1，x）和=（2x+3，-x）互相平行，其中x∈R，则|-|=（ ）
A．
B．
C．-2或0
D．2或10

4. 难度：中等

设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（ ）
A．若a、b与α所成的角相等，则a∥b
B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
C．若a⊥α，a∥β，则α⊥β
D．若a∥α，b∥β，则a∥b

5. 难度：中等

已知f（x）=，则f（log₂3）的值是（ ）
A．
B．
C．24
D．12

6. 难度：中等

若直线y=x+k与曲线恰有一个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H．设四面体EFGH的表面积为T，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若当x∈（1，3）时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．．
B．．
C．．
D．

9. 难度：中等

数列{a_n}满足下列条件：a₁=1，且对于任意的正整数n，恒有a_2n=a_n+n，a₅₁₂=（ ）
A．128
B．256
C．512
D．1024

10. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0，a≠1）在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

在△ABC中，已知A=60°，，为使此三角形只有一个，则a的取值范围为    ．

12. 难度：中等

计算=    ．

13. 难度：中等

在数列a_n中，已知a₁=1，a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2），则这个数列的通项公式是    ．

14. 难度：中等

直线l经过A（2，1），B（1，m²）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角的取值范围是    ．

15. 难度：中等

如图，α-l-β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α，N∈β，且MP和NP与l所成的角相等，则MN与β所成角为    ．

16. 难度：中等

如图，△ABC中，，AC=2，∠A=θ，设△ABC的面积为f（θ）．
（Ⅰ）若，求AB的长；
（Ⅱ）求f（θ）的解析式，并求f（θ）的单调区间．

17. 难度：中等

某跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），最高处距水面，入水处距池边的距离为4m．在某次跳水时，要求该运动员在距水面高度为5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（Ⅰ）求这条抛物线的解析式；
（Ⅱ）该运动员按（Ⅰ）中抛物线运行，要使此次跳水不至于失误，那么运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多为多少米？

18. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，AA′=AB=，AD=2BC=2，直线AD与面ABB'A'所成角为45°．
（Ⅰ）求证：DB⊥面ABB'A'；
（Ⅱ）求证：AD'⊥B'C；
（Ⅲ）求二面角D-AB'-B的正切值．

19. 难度：中等

将圆x²+y²-2x+4y=0按向量平移后得到圆O，直线l与圆O相交于A、B，若在圆O上存在点C，使，求直线l的方程及对应的点C坐标．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=3，，n∈N*．
（Ⅰ）证明数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n（a_n+1-2），数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜2．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=2x²+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若F（x）在x=1处取得极小值，求F（x）的极大值；
（Ⅱ）若F（x）在区间上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=3，问是否存在与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线？若存在，判断有几条？并加以证明，若不存在，说明理由．