2011年广东省高考数学模拟试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|0＜x＜3}，B={x∈R|x²≥4}，则A∩B=（ ）
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|2≤x＜3}
C．{x|x≤-2或2≤x＜3}
D．R

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，若复数z=（a²-1）+（a+1）i，则“a=-1”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有（ ）
A．24种
B．48种
C．96种
D．120种

4. 难度：中等

设函数，的零点分别为x₁，x₂，则（ ）
A．0＜x₁x₂＜1
B．x₁x₂=1
C．1＜x₁x₂＜2
D．x₁x₂≥2

5. 难度：中等

与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论组成命题，其中为真命题的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

7. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，则（ ）
A．f（sin）＜f（cos）
B．f（sin1）＞f（cos1）
C．f（cos）＜f（sin）
D．f（cos2）＞f（sin2）

8. 难度：中等

如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos²（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

已知非零向量满足，
向量a，b的夹角为120°，且||=2||，则向量，的夹角为    ．

10. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为    ．

11. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是    ．

12. 难度：中等

已知平面区域D={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y=kx（k∈R）下方的概率为    ．

13. 难度：中等

给出下列命题：
①y=x²是幂函数        
②函数f（x）=2^x-x²的零点有2个
③展开式的项数是6项
④函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是
⑤若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2
其中真命题的序号是    （写出所有正确命题的编号）．

14. 难度：中等

（选做题）（几何证明选讲）如图，正△ABC的边长为2，点M，N分别是边AB，AC的中点，直线MN与△ABC的外接圆的交点为P、Q，则线段PM=    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，过极点的一条直线l与圆相交于O，A两点，且∠AOX=45°，则OA=    ．

16. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=-14，3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*）．
（I）求证：数列{a_n-2n+1}是等比数列；
（II）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的最小值．

17. 难度：中等

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现在采用分层抽样法（层内采用不放回的简单随机抽样）从甲，乙两组中共抽取3人进行技术考核．
（1）求甲，乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率；
（3）令X表示抽取的3名工人中男工人的人数，求X的分布列及数学期望、

18. 难度：中等

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求证：BD⊥EG；
（Ⅲ） 求二面角C-DF-E的余弦值．

19. 难度：中等

如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为，半径OA为1Km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD∥AO，设∠AOC=θ，
（1）用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围．
（2）当θ为何值时，观光道路最长？

20. 难度：中等

若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=-1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；
（III）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证：t与均为定值．

21. 难度：中等

已知函数（）．
（Ⅰ）当曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线l：y=2x+1垂直时，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
（III）求证：．