2011年四川省乐山市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数=（ ）
A．2i
B．-2i
C．2
D．-2

2. 难度：中等

设全集为U，集合M={x|x＞2}，N={x|x²＞4}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M=N
B．N⊆M
C．M⊆N
D．（C_UM）∩N=ϕ

3. 难度：中等

设a＞0，b＞0，若是log₂^a与log₂^b的等差中项，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

4. 难度：中等

已知命题p；对任意x∈R，2x²-2x+1≤0；命题q：存在x∈R，sinx+cosx=，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④¬p是真命题，其中正确的是（ ）
A．①④
B．②③
C．③④
D．②④

5. 难度：中等

函数的图象如图所示，则函数y=Acos（ωx+φ）的递减区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数的反函数是等于（ ）
A．1
B．-1
C．-2
D．2

7. 难度：中等

将编号为①②③④的四个小球放到三个不同的盒子内，每个盒子至少放一个小球，且编号为①②的小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数为（ ）
A．24
B．18
C．30
D．36

8. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，AB=2AD=1，AC=且，设，则λ+μ=（ ）

A．4
B．6
C．-4
D．-2

9. 难度：中等

某工艺品厂为一次大型博览会生产甲、乙两种型号的纪念品，所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套甲型纪念品需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套乙型纪念品需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒，若甲型纪念品每套可获利700元，乙型纪念品每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒，则该厂生产甲、乙两种纪念品各多少套才能使该厂月利润最大？（ ）
A．19，25
B．20，24
C．21，23
D．22，22

10. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PB=PC=2，则该三棱锥的外接球面上，P、A两点的球面距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

对于实数x，定义[x]表示不超过x大整数，已知正数数列a_n满足：，其中S_n为数列a_n的前n项的和，则=（ ）
A．20
B．19
C．18
D．17

二、解答题

13. 难度：中等

设（x-a）⁸=a+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸，若a₆+a₈=-6，则实数a的值为    ．

14. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为的取值范围为    ．

15. 难度：中等

如图，在棱长为2a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱A₁B₁、B₁C₁的中点，则点C到面BMN的距离为    ．

16. 难度：中等

已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）}，x，y∈R，有下列命题：
①若则f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=sinx，则f₂（x）∈M；
③若f（x）∈M，y=f（x）的图象关于原点对称；
④若f（x）∈M，则对任意不等的实数x₁、x₂，总有；
⑤若f（x）∈M，则对任意的实数x₁、x₂，总有．
其中是正确的命题有    ．（写出所有正确命题的编号）

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，直线AB的倾斜角为．
（1）用θ有示点B的坐标及；
（2）求的范围．

18. 难度：中等

在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．
（Ⅰ）证明DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的余弦值．

19. 难度：中等

某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试．规定三项都合格者才能录取．假定每项测试相互独立，学生A各项测试合格的概率组成一个公差为的等差数列，且第一项测试不合格的概率超过，第一项测试不合格但第二项测试合格的概率为．
（Ⅰ）求学生A被录取的概率；
（Ⅱ）求学生A测试合格的项数X的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（I）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零常数，n∈N^*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的焦点在y轴上，且离心率为．过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数λ的取值范围．

22. 难度：中等

设，其中f（x）=lnx，且g（e）=．（e为自然对数的底数）
（I）求p与q的关系；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（Ⅲ）证明：
①f（1+x）≤x（x＞-1）；
②（n∈N，n≥2）．