2010-2011学年云南省昆明市高三质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z满足（1-i）z=2i，则z=（ ）
A．-1+i
B．-1-i
C．1+i
D．1-i

2. 难度：中等

方程2^x-2=-x²的实数根的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

3. 难度：中等

不等式所表示的平面区域的面积等于（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

4. 难度：中等

用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为等于（ ）
A．
B．π
C．
D．2π

5. 难度：中等

函数y=lnx-ln（1-x）（0＜x＜1）的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若的展开式中的常数项是65，则a的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

7. 难度：中等

4名师范生分到两所学校实习，若甲、乙不在同一所学校，则不同的分法共有（ ）
A．8种
B．10种
C．12种
D．16种

8. 难度：中等

已知正四棱锥S-ABCD，E是SB的中点，若，则异面直线AE与SD所成的角等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

曲线处的切线与圆C：（x-t）²+（y-t-1）²=1的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．与t的取值有关

10. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交C于A、B两点，M是x轴上一动点，那么的最小值是（ ）
A．-15
B．-12
C．-8
D．-3

11. 难度：中等

已知两平行平面α、β间的距离为，点A、B∈α，点C、D∈β，且AB=3，CD=2，若异面直线AB与CD所成角为60°，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．
B．2
C．
D．3

12. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交C于A、B两点，若AB⊥AF₂，且|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列，则C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知=    ．

14. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列a_n的前n项和为S_n，若S₄=3S₂，a₃=2，则a₇=    ．

15. 难度：中等

已知函数，若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）≤g（x）成立，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁内有一个球，其最大半径为r，若该直三棱柱的六个顶点在半径为R的同一球面上，且AC=CB=1，=    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，acosB+bcosA=2ccosC．
（I）求内角C；
（II）若．

18. 难度：中等

一位同学分别参加了三所大学自主招生笔试（各校试题各不相同），如果该同学通过各校笔试的概率分别为，且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．
（I）求该同学至少通过一所大学笔试的概率；
（II）设该同学通过笔试的大学所数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PD∥平面EAC．
（I）求证：PE=2EB；
（II）求二面角E-AD-C的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，S_n+1=2S_n+3-n，数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n-1．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）是否存在实数λ，使数列{b_n}为等差数列或等比数列？若存在，求出数列{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且C的焦点到其渐近线的距离为，过点E（1，0）且倾斜角为锐角的直线l交C于A、B两点．
（I）求双曲线C的方程；
（II）若，求直线l斜率的取值范围．

22. 难度：中等

若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）-g（x）的极值；
（II）函数f（x）和g（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程，若不存在，请说明理由．