2011年安徽省阜阳市高三质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1-i
D．1+i

2. 难度：中等

设集合A={x|log₂x+1＞0}，B={y|y=3^x，x∈R}，则（C_RA）∩B=（ ）
A．
B．
C．（0，1）
D．（0，1]

3. 难度：中等

函数的一个单调减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知抛物线y²=4ax的准线与圆x²+y²-2y=0相离，则实数a的取值范围是（ ）
A．-2＜a＜2
B．a＞2或a＜-2
C．-1＜a＜1
D．a＞1或a＜-1

5. 难度：中等

一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的表面积（单位：m²）为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1，，则数列的前10项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β
D．a⊂α，b∥β，α⊥β

8. 难度：中等

若，设a=x₁sinx₂，b=x₂sinx₁，则b与a的大小关系是（ ）
A．a＞b
B．a≥b
C．a＜b
D．a≤b

9. 难度：中等

不等式x²-4x+a＜0存在小于1的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，4）
B．（-∞，4]
C．（-∞，3）
D．（-∞，3]

10. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表，

x	-2		4
f（x）	1	-1	1

f'（x）为f（x）的导函数，函数y=f'（x）的图象如图所示，若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，D是AC的中点，则=    ．

12. 难度：中等

对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则=   
（e为自然对数的底数）．

13. 难度：中等

已知∠ABC=60°，点P是∠ABC内一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，且PE=1，PF=2，则△PEF的外接圆直径为    ．

14. 难度：中等

在平面几何中有如下结论：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，请你运用类比的方法将此命题推广到空间中应为：    ．

15. 难度：中等

下列命题正确的有    （把所有正确命题的序号填在横线上）：
①若数列{a_n}是等差数列，且a_m+a_n=a_s+a_t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；
②若S_n是等差数列{a_n}的前n项的和，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等差数列；
③若S_n是等比数列{a_n}的前n项的和，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比数列；
④若S_n是等比数列{a_n}的前n项的和，且S_n=Aqⁿ+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2x+cos2x．
（Ⅰ）当时，求f（x）的取值范围；
（Ⅱ）画出函数f（x）在内的图象．

17. 难度：中等

如图，在多面体ABCDE中，四边形ACDE是矩形，且平面ACDE⊥平面ABC，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AE=AB=2，F、G分别是棱BE、AC的中点，
（Ⅰ）证明：直线AF∥平面BGD；
（Ⅱ）求二面角C-BD-G的正切值．

18. 难度：中等

设函数f（x）=（ax-2）e^x，a∈R，（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若a=1，t₁，t₂∈[0，1]时，证明：f（t₁）-f（t₂）≤e-2．

19. 难度：中等

烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离成反比，现有两座烟囱相距10km，其中甲烟囱喷出的烟尘浓度是乙烟囱的2倍，在距甲烟囱1km处的烟尘浓度为2个单位/m³，现要在甲、乙两烟囱之间建立一所学校，问学校建在何处，烟尘对学校的影响最小？

20. 难度：中等

设S_n是数列{a_n}的前n项的和，且S_n=2a_n+n²-8．
（Ⅰ）证明数列{a_n-2n-3}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足，证明：b₁+b₂+…+b_n＜1．

21. 难度：中等

设椭圆E（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆E上一点，AF₁⊥F₁F₂，原点到直线AF₂的距离是．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；
（Ⅱ）若△AF₁F₂的面积是e，求椭圆E的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若直线l：y=x+m与椭圆E交于B、C两点，问：是否存在实数m使∠BF₂C为钝角？如果存在，求出m的范围；如果不存在，说明理由．