2010年福建省漳州市芗城区立人学校高三综合检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={0，1}，B={y|y²=1-x²，x∈A}，则A∪B=（ ）
A．{0，1}
B．{0，1，-1}
C．
D．{0，1，-1，-}

2. 难度：中等

正项等比数列{a_n}中，若log₂（a₂a₉₈）=4，则a₄₀a₆₀等于（ ）
A．-16
B．10
C．16
D．256

3. 难度：中等

函数C：y=x²的零点所在的大致区间是（ ）
A．（-1，1）
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（-2，-1）

4. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充分不必要条件
C．“”恒成立的充要条件是“m≤3”
D．若m、l是直线，α是平面，m⊂平面α，那么：“l∥α”是“l∥m”的充要条件

5. 难度：中等

一束光线从点A（-1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x-2）²+（y-3）²=1上的最短路程是（ ）
A．3-1
B．2
C．4
D．5

6. 难度：中等

如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为（ ）（不考虑接触点）

A．
B．
C．
D．32+π

7. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆a＞b＞0、的焦点；M为椭圆上一点，MF₁垂直于x轴，且∠F₁MF₂=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若f（5）=2，则f（2009）=（ ）
A．1
B．2
C．-4
D．-2

9. 难度：中等

函数，给出下列四个命题：
①函数在区间上是减函数；       
②直线是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数的图象向左平移而得到；
④若 ，则f（x）的值域是
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

设函数y=f （x）满足f （x+1）=f （x）+1，则方程f （x）=x的根的个数是（ ）
A．无穷个
B．有限个
C．没有或者有限个
D．没有或者无穷个

二、解答题

11. 难度：中等

已知直线l₁：x+ay+6=0和l₂：（a-2）x+3y+2a=0，则l_1^∥l₂的充要条件是a=    ．

12. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的右焦点与抛物线焦点重合，则该双曲线的方程是    ．

13. 难度：中等

已知实数x，y满足，则的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=-3x-x³，x∈R，若时，不等式f（cos²θ-2t）+f（4sinθ-3）≥0恒成立，则实数t的取值范围是    ．

15. 难度：中等

定义域和值域均为[-a，a]（常数a＞0）的函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图所示，给出下列四个命题：
①方程f[g（x）]有且仅有三个解；
②方程g[f（x）]有且仅有三个解；
③方程f[f（x）]有且仅有九个解；
④方程g[g（x）]有且仅有一个解．
那么，其中正确命题的个数是    ．

16. 难度：中等

已知角A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．
（1）求角A的大小；
（2）若，求b的长．

17. 难度：中等

某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售a台；根据市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月销售量减少的百分率为x²．记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y（元）．
（1）写出月利润y（元）与x的函数关系式；
（2）试确定笔记本电脑的销售价，使得电脑企业的月利润最大．

18. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，如图2．
（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的体积；
（Ⅱ）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅲ）求二面角G-EF-D的大小．

19. 难度：中等

已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1）
设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和S_n，当时，求S_n．

20. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=．椭圆G以A、B为焦点且经过点D．
（Ⅰ）建立适当坐标系，求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若点E满足=，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆G交于M、N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l与AB夹角正切值的范围，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．