2011年江苏省连云港市赣榆高级中学高三3月调研数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4}，集合P={1，2}，Q={2，3}，则P∩（∁_UQ）=    ．

2. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为    ．

3. 难度：中等

“”是“”的    条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）

4. 难度：中等

若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5上的概率为    ．

5. 难度：中等

如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是    ．

6. 难度：中等

若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的体积为    cm³．

7. 难度：中等

执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=    ．

8. 难度：中等

已知函数则的值是    ．

9. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₁+a₂=4，a₁₀+a₉=36，则S₁₀=    ．

10. 难度：中等

已知正数x、y满足，则z=4^-x的最小值为    ．

11. 难度：中等

设向量，，其中0＜α＜β＜π，若，则β-α=    ．

12. 难度：中等

如图，已知F₁、F₂是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则=    ；椭圆C的离心率为    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=x²+2a|x|+4a²-3的零点有且只有一个，则实数a=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=x（x∈N^*），a_n+2=|a_n+1-a_n|，若前2010项中恰好含有666项为0，则x的值为    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）若，求f（x）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BD⊥平面CDE．

17. 难度：中等

扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）．
（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？
（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．

18. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=9，点A（-5，0），直线l：x-2y=0．
（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}，a_n=pⁿ+λqⁿ（p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*）．
（1）求证：数列{a_n+1-pa_n}为等比数列；
（2）数列{a_n}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设A={（n，b_n）|b_n=3ⁿ+kⁿ，n∈N*}，其中k为常数，且k∈N^*，B={（n，c_n）|c_n=5ⁿ，n∈N*}，求A∩B．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=λx²+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0．
（1）当λ=-1时，求函数g（x）的最大值；
（2）求函数h（x）的单调区间；
（3）设函数若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，求实数λ的取值范围．

21. 难度：中等

已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A（1，2）变成了点A′（7，10），点B（2，0）变成了点B′（2，4），求矩阵M．

22. 难度：中等

已知曲线C：，直线l：ρ（cosθ-2sinθ）=12．
（1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点P在曲线C上，求P点到直线l距离的最小值．

23. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，点E，F分别是PC，PA的中点，求二面角A-BE-F的余弦值．

24. 难度：中等

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．