2011年上海市嘉定区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

2. 难度：中等

有下列四个命题：
①三个点可以确定一个平面；②四边相等的四边形一定是菱形；
③底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

方程2^x=x²的实数解的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．已知f（x）=x²，D=[2，4]，则函数f（x）在D上的几何平均数为（ ）
A．9
B．8
C．4
D．2

二、解答题

5. 难度：中等

设i是虚数单位，a是实数，若（1+i）（1-ai）是实数，则a=    ．

6. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是    ．

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中，公差d=1，a₂是a₁与a₄的等比中项，则a₁=    ．

8. 难度：中等

若，则cos2θ=    ．

9. 难度：中等

设函数的反函数为f^-1（x），则方程f^-1（x）=4的解是    ．

10. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底边长AB=1，高AA₁=2，则异面直线BD₁与AD所成角的大小为    （结果用反三角函数值表示）．

11. 难度：中等

已知向量、满足||=1||=2，且•（+）=2，那么与的夹角大小为    ．

12. 难度：中等

若（1-2^x）⁹展开式中第3项是288，则=    ．

13. 难度：中等

设a、b∈R，把三阶行列式中元素3的余子式记为f（x），若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-1，b），则a+b=    ．

14. 难度：中等

如图所示的程序框图，输出b的结果是    ．

15. 难度：中等

在10件产品中有3件是次品，从中任取4件，恰好有1件次品的概率是    ．

16. 难度：中等

若关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（，），则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x²-4x•cosθ+2＜0与不等式2x²-4x•sinθ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（，π），则θ=    ．

17. 难度：中等

若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为    ．

18. 难度：中等

设n∈N⁺，关于n的函数f（n）=（-1）^n-1•n²，若a_n=f（n）+f（n+1），则数列{a_n}前100项的和a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=    ．

19. 难度：中等

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

20. 难度：中等

已知向量，．
（1）求满足⊥的实数x的集合；
（2）设函数，求f（x）在时的值域．

21. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层．每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）满足关系：C（x）=．若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式，并写f（x）=的定义域；
（2）隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f（x）=最小？并求出最小总费用．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R，定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列？若存在，求出实数m的值，并求出等差数列的公差；若不存在，请说明理由．
（3）若正数数列{b_n}满足：b₁=1，（n∈N*），S_n为数列{b_n}的前n项和，求使S_n＞2010成立的最小正整数n的值．

23. 难度：中等

设函数（a∈R），函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于点A（1，2）对称．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若关于x的方程g（x）=a有且仅有一个实数解，求a的值，并求出方程的解；
（3）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围．