2011年江苏省高考数学最后冲刺试卷（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知平面上的向量、满足，=2，设向量，则的最小值是     ．

2. 难度：中等

已知圆（x-2）²+y²=9和直线y=kx交于A，B两点，O是坐标原点，若，则=    ．

3. 难度：中等

已知，命题p：关于x的方程没有实数根，命题q：，则命题p是命题q的    ．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=msinx+ncosx，且是它的最大值，（其中m、n为常数且mn≠0）给出下列命题：
①是偶函数；
②函数f（x）的图象关于点对称；
③是函数f（x）的最小值；
④记函数f（x）的图象在y轴右侧与直线的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，P₄，…，则|P₂P₄|=π
⑤．
其中真命题的是    （写出所有正确命题的编号）

5. 难度：中等

在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λ₁-λ₂=    ．

6. 难度：中等

若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于    ．

7. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=    ．

8. 难度：中等

过双曲线上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则=    ．

9. 难度：中等

已知，{a_n}是首项为a公差为1的等差数列，．如对任意的n∈N^*，都有b_n≥b₈，成立，则a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

设△ABC不是等腰三角形，，且△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，若，则实数m=    ．

11. 难度：中等

已知椭圆，A、B是其左右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆与点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为    ．

12. 难度：中等

关于x的方程2x²-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=
（1）求f（α）和f（β）的值．
（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数．
（3）对任意正数x₁．x₂，求证：（文科不做）

13. 难度：中等

已知各项均为整数的数列{a_n}满足：a₉=-1，a₁₃=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在正整数m、p使得：a_m+a_m+1+…+a_m+p=a_ma_m+1…a_m+p，请找出所有的有序数对（m，p），并证明你的结论．

14. 难度：中等

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x+1定义在R上．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（2）若p（t）≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；
（3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围．

16. 难度：中等

在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线．且AD=kAC
（1）求k的取值范围；
（2）若S_△ABC=1，问k为何值时，BC最短？