2011年上海市长宁区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（文）已知集合A（-∞，0]，B={1，3，a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是    ．

2. 难度：中等

若复数z₁=1-i，z₂=2+4i，其中i是虚数单位，则复数z₁z₂的虚部是    ．

3. 难度：中等

（文）函数y=cos2aπx（a＞0）的最小正周期为2，则实数a=    ．

4. 难度：中等

若的二项展开式中的 第5项的系数是    （用数字表示）．

5. 难度：中等

已知α为第三象限的角，，则=   

6. 难度：中等

不等式的解集为    ．

7. 难度：中等

给出下面4个命题：（1）y=tanx在第一象限是增函数；（2）奇函数的图象一定过原点；（3）f^-1（x）是f（x）的反函数，如果它们的图象有交点，则交点必在直线y=x上；（4）“a＞b＞1“是“log_ab＜2“的充分但不必要条件．其中正确的命题的序号是    ．（把你认为正确的命题的序号都填上）

8. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则最后输出的S=    ．

9. 难度：中等

无穷等比数列{a_n}中，公比为q，且所有项的和为，则a₁的范围是    ．

10. 难度：中等

设函数f（x）=，则函数y=f（x）的零点是    ．

11. 难度：中等

一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b²+c²=a²-bc，，则△ABC的面积等于    ．

13. 难度：中等

（文）对于函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值称为函数f（x）的“下确界”，则函数的“下确界”为    ．

14. 难度：中等

直线y=1与曲线y=x²-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“”是“一元二次方程x²+x+m=0有实数解”的（ ）
A．充分非必要条件
B．充分必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件

16. 难度：中等

（文）函数的图象关于原点对称的充要条件是（ ）
A．φ=2kπ-，k∈Z
B．φ=kπ-，k∈Z
C．φ=2kπ-，k∈Z
D．φ=kπ-，k∈Z

17. 难度：中等

已知a=（-3，2），b=（-1，0），向量λa+b与a-2b垂直，则实数λ的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

18. 难度：中等

如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A₁B₁C₁，又△A₁B₁C₁的各边中点得到一个新的△A₂B₂C₂，如此无限继续下去，得到一系列三角形，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，△A₃B₃C₃，…这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是（ ）

A．（，）
B．（，1）
C．（，1）
D．（1，）

三、解答题

19. 难度：中等

若四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD（如图），且．
（1）求异面直线PD与BC所成角的大小；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

20. 难度：中等

设复数z=-3cosθ+2isinθ
（1）当时，求|z|的值；
（2）若复数z所对应的点在直线x+3y=0上，求的值．

21. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

22. 难度：中等

设f（x）=为奇函数，a为常数，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞+m恒成立，求实数m的取值范围．

23. 难度：中等

（文）已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上，其中{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设数列{b_n}的前n项的和S_n，求；
（3）设Q_n（a_n，0），当时，问△OP_nQ_n的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．