高考数学一轮复习必备（第92-93课时）：第十二章 极限-数列的极限、数学归纳法（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知{an}是等比数列，如果a₁+a₂+a₃=18，a₂+a₃+a₄=-9，S_n=a₁+a₂+…+an，那么S_n的值等于（ ）
A．8
B．16
C．32
D．48

2. 难度：中等

[n（1-）（1-）（1-）…（1-）]等于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁＞1，且前n项和S_n满足S_n=，那么a₁的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（1，4）
C．（1，2）
D．（1，）

4. 难度：中等

等于（ ）
A．0
B．∞
C．
D．5

5. 难度：中等

等于（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

6. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比为q，前n项和为S_n，若，则公比q的取值范围是（ ）
A．q≥1
B．0＜q＜1
C．0＜q≤1
D．q＞1

7. 难度：中等

的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不存在

二、解答题

8. 难度：中等

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，如果s_n是{a_n}的前n项的和，那么等于    ．

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d＞0，首项a₁＞0，S_n=…+，则S_n=    ．

10. 难度：中等

如果存在，且，则=    ．

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

=    ．

13. 难度：中等

已知等比数列{an}的公比q＞1，a1=b（b≠0），则=    ．

14. 难度：中等

求=    ．（a＞0）．

15. 难度：中等

数列0.，0.0000，…的前n项和    及各项和S=    ．

16. 难度：中等

=    ．

17. 难度：中等

用数学归纳法证明2ⁿ＞n²（n∈N，n≥1），则第一步应验证    ．

18. 难度：中等

=    ．

19. 难度：中等

数列{a_n}和{b_n}都是公差不为0的等差数列，且=3，则=    ．

20. 难度：中等

（a＞1）=    ．

21. 难度：中等

=    ．

22. 难度：中等

=    ．

23. 难度：中等

等比数列{a_n}的公比为q=─1/3，则=    ．

24. 难度：中等

归纳原理分别探求：
（1）凸n边形的内角和f（n）=    ；
（2）凸n边形的对角线条数f（n）=    ；
（3）平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f（n）=    ．

25. 难度：中等

平面上有n条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f（n）个区域，则f（n+1）=f（n）+    ．

26. 难度：中等

当n为正奇数时，求证xⁿ+yⁿ被x+y整除，当第二步假设n=2k─1时命题为真，进而需验证n=    ，命题为真．

27. 难度：中等

求（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ′1′2′3′…（2n─1）（n∈N），从“k到k+1”左端应增乘的代数式为    ．

28. 难度：中等

将无限循环小数0.12^••化为分数．

29. 难度：中等

已知，求实数a，b的值．

30. 难度：中等

数列{a_n}，{b_n}满足（2a_n+b_n）=1，（a_n─2b_n）=1，试判断数列{a_n}，{b_n}的极限是否存在，说明理由并求（a_nb_n）的值．

31. 难度：中等

设首项为a，公差为d的等差数列前n项的和为A_n，又首项为a，公比为r的等比数列前n项和为G_n，其中a≠0，|r|＜1．令S_n=G₁+G₂+…+G_n，若有=a，求r的值．

32. 难度：中等

设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S_n，又设T_n=．

33. 难度：中等

在半径为R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和．

34. 难度：中等

某次测验有10道备用试题，甲同学在这10道题中能够答对6题，现在备用试题中随机抽考5题，规定答对4题或5题为优秀，答对3题为合格．求甲同学获优秀的概率．

35. 难度：中等

将A，B，C，D四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人．A，B都在甲组的概率是______．

36. 难度：中等

是否存在常数a，b，c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．

37. 难度：中等

已知数列a_n=，记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，用数学归纳法证明S_n=（n+1）a_n-n．

38. 难度：中等

证明：＞（n∈N，n≥2）．

39. 难度：中等

证明：xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．

40. 难度：中等

在1与2之间插入n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b₁，b₂，b₃，…，b_n，使这n+2个数成等差数列．记A_n=a₁a₂a₃…a_n，B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．
（1）求数列{A_n}和{B_n}的通项；
（2）当n≥7时，比较A_n和B_n的大小，并证明你的结论．

41. 难度：中等

若数列{a_n}满足对任意的n有：S_n=，试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论．

42. 难度：中等

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145．
（1）求数列{b_n}的通项b_n；
（2）设数列{a_n}的通项a_n=log_a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S_n是数列{a_n}的前n项和．试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论．

43. 难度：中等

设数列a₁，a₂，…，a_n，…的前n项的和S_n与a_n的关系是，其中b是与n无关的常数，且b≠-1．
（1）求a_n和a_n-1的关系式；
（2）写出用n和b表示a_n的表达式；
（3）当0＜b＜1时，求极限．

44. 难度：中等

在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正方形A_iB_iC_iD_i（i=1，2，3，…），使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为a，求所有正方形的面积之和．

45. 难度：中等

已知直线l：x-ny=0（n∈N*），圆M：（x+1）²+（y+1）²=1，抛物线φ：y=（x-1）²，又l与M交于点A、B，l与φ交于点C、D，求．

46. 难度：中等

已知a_n为等比数列且首项为1，公比为，证明．

47. 难度：中等

用数学归纳法证明aⁿ⁺¹+（a+1）^2n-1能被a²+a+1整除（n∈N^*）．

48. 难度：中等

若a_i＞0（i=1，2，3，…，n），且a₁+a₂+…+a_n=1，证明：a₁²+a₂²+…+a_n²≥． （n≥2，n∈N）

49. 难度：中等

数列{a_n}中，，试证：．

50. 难度：中等

试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ．（n∈N）．

51. 难度：中等

已知数列a_n的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N），
（1）试计算S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出a_n的表达式．

52. 难度：中等

已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），a₂=6，令b_n=a_n+n（n∈N^*）
（Ⅰ）写出数列{b_n}的前四项；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式，并给出证明；
（Ⅲ）是否存在非零常数p，q，使得数列成等差数列？若存在，求出p，q满足的关系式；若不存在，说明理由．