2011年山东省临沂市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={-2，-1，1，2}则下列结论正确的是（ ）
A．A∩B={-2，-1}
B．（C_RA）∪B=（-∞，0）
C．A∪B=（0，+∞）
D．（C_RA）∩B={-2，-1}

2. 难度：中等

已知复数，则•i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，，则S₉等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

4. 难度：中等

函数的零点为1，则实数a的值为（ ）
A．-2
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

已知，且，则tanφ=（ ）
A．
B．
C．-
D．

6. 难度：中等

已知直线ax-by-2=0与曲线y=x³在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

的一个充分不必要条件是（ ）
A．x＞y
B．x＞y＞0
C．x＜y
D．y＜x＜0

8. 难度：中等

某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）
A．6万元
B．8万元
C．10万元
D．12万元

9. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥面A₁B₁C₁，正（主）视图、俯视图如图，则三棱柱的侧（左）视图的面积为（ ）

A．4
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则f（2011）的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

11. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域为M，x²+y²≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．3x±4y=0
B．3x±5y=0
C．4x±3y=0
D．5x±4y=0

二、解答题

13. 难度：中等

抛物线y=ax²的准线方程是y=1，则a的值为     ．

14. 难度：中等

对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则=    ．

15. 难度：中等

设定义在区间上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P₁，直线PP₁与函数y=cosx的图象交于点P₂，则线段P₁P₂的长为    ．

16. 难度：中等

下面四个命题：
①函数y=log_a（x-a）+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（3，2）；
②y=cosx-sinx的图象向左平移个单位，所得图象关于y轴对称；
③若命题“∃x∈R，x²+x+a＜0”是假命题，则实数a的取值范围为；
④若0＜a＜b，且a+b=1，则log₂a+log₂b＜-2．其中所有正确命题的序号是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．

18. 难度：中等

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，且．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

20. 难度：中等

汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对CO₂排放量超过130g/km的M₁型新车进行惩罚（视为排放量超标），某检测单位对甲、乙两类M₁型品抽取5辆进行CO₂排放量检测，记录如下（单位：g/km）：

甲	80	110	120	140	150
乙	100	120	x	y	160

经测算发现，乙品牌车CO₂排放量的平均值为x_乙=120g/KM
（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，则至少有一辆CO₂排放量超标的概率是多少？
（Ⅱ）若乙类品牌的车比甲类品牌的CO₂的排放量的稳定性要好，求x的范围．

21. 难度：中等

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，△AF₁F₂为正三角形，且以AF₂为直径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λx-cosx在区间上是减函数．
（Ⅰ）求a的值与λ的范围；
（Ⅱ）若对（Ⅰ）中所得的任意实数λ都有g（x）≤λt-1在上恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若m＞0，试讨论关于x的方程的根的个数．