2011年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合U=R，A={x|x²-5x+6≥0}，那么∁_UA=（ ）
A．{x|x＜2或x＞3}
B．{x|2＜x＜3}
C．{x|x≤2或x≥3}
D．{x|2≤x≤3}

2. 难度：中等

“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知平面向量，的夹角为60°，||=4，||=3，则|+|等于（ ）
A．37
B．
C．13
D．

4. 难度：中等

记集合A={（x，y）|x²+y²≤4}和集合B={（x，y）|x+y-2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω₁，Ω₂，若在区域Ω₁内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω₂内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图所示，O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁对角线A₁C与AC₁的交点，E为棱BB₁的中点，则空间四边形OEC₁D₁在正方体各面上的正投影不可能 是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的结果是（ ）

A．-1
B．i-1
C．0
D．-i

7. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；
②若α∥β，m⊂α，则m∥β；
③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③
B．①②
C．③④
D．②③

8. 难度：中等

若函数f（x）满足条件：当x₁，x₂∈[-1，1]时，有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，则称f（x）∈Ω．对于函数g（x）=x³，h（x）=，有（ ）
A．g（x）∈Ω且h（x）∉Ω
B．g（x）∉Ω且h（x）∈Ω
C．g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
D．g（x）∉Ω且h（x）∉Ω

二、解答题

9. 难度：中等

已知抛物线y²=4x上一点P（3，y），则点P到抛物线焦点的距离为    ．

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂=1，S₅=10，则S₇=    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（-1）=    ．

12. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=    ．

13. 难度：中等

某路段检查站监控录像显示，在某段时间内有2000辆车通过该站，现随机抽取其中的200辆进行车速分析，分析结果表示为如图所示的频率分布直方图．则图中a=    ，估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有    辆．

14. 难度：中等

用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数f（x）=（x-[x]）²的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，1]；
②函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（0，1）上是增函数．
其中正确命题的序号是    ．（写出所有正确命题的序号）

15. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=，求f（B）的最大值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；
（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA∥平面BMQ．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，b₁=5，b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式．

18. 难度：中等

已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点（1，）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx-2与椭圆E相交于A，B两点，在OA上存在一点M，OB上存在一点N，使得，若原点O在以MN为直径的圆上，求直线斜率k的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+4在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）当x≥0时，曲线y=f（x）总在直线y=a²x-4上方，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知Sn={A|A=（a₁，a₂，a₃，…a_n）}a_i=0或1，i={1，2，••，n}（n≥2），对于U，V∈S_n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）如果U=（0，0，0，0），存在m个V∈S₄，使得d（U，V）=2，写出m的值；
（Ⅱ）如果，U，V∈S_n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）．