2011年江苏省南通市海安县课本回归检测数学试卷1（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合，则C_UM=    ．

2. 难度：中等

设z₁=1-i，z₂=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z₁+z₂ 是纯虚数，则a=    ．

3. 难度：中等

某工厂生产了某种产品3000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则乙生产线生产了    件产品．

4. 难度：中等

若是偶函数，则a=    ．

5. 难度：中等

从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是    ．

6. 难度：中等

如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程，y=-x+5，则f（3）-f′（3）=    ．

7. 难度：中等

定义某种新运算⊙；S=a⊙b的运算原理如图所示，则5⊙4-3⊙6=    ．

8. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，若AC=，BD=1，则=    ．

9. 难度：中等

有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为    ．

10. 难度：中等

若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为    ．

11. 难度：中等

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF₂垂直于x轴，则双曲线的离心率e=    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点集A={（ x，y）|x²+y²≤1}，B={（ x，y）|x≤4，y≥0，3x-4y≥0}，则点集Q={（ x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+（a-1）x²+3x+b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

O是△ABC所在平面上的一定点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则点P 形成的图形一定通过△ABC 的    ．（填外心或内心或重心或垂心）

15. 难度：中等

在△ABC中，BC=1，∠B=，
（Ⅰ）若，求AB；
（Ⅱ）若，求tanC．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．
（3）若AB=4，BC=3，求点C到平面PBD的距离．

17. 难度：中等

如图所示，直角坐标系xOy建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段MD是以O为圆心，OD为半径的圆弧，后一段DBC是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0， ），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为
（Ⅰ）求函数y=sin（ωx+φ）的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园OEPF，其中折线FPE为水上赛艇线路，问点P落在圆弧MD上何处时赛艇线路最长？

18. 难度：中等

已知离心率为的椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线的左右焦点，点P是椭圆上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）试判断k₁•k₂的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当时，圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为，求实数m的值．
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．

19. 难度：中等

已知数列b_n前n项和．数列a_n满足（n∈N^*），数列c_n满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列a_n和数列b_n的通项公式；
（2）求数列c_n的前n项和T_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x，使得h（x）＞f（x）成立，试求实数p的取值范围．