2008年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=1+log₂x与g（x）=2^-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知直线a，b，c和平面m，直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是（ ）
A．a⊥m且b⊥m
B．a∥m且b∥m
C．a∥c且b∥c
D．a，b与m所成角相等

3. 难度：中等

若弧度是2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）
A．sin1
B．sin²1
C．
D．

4. 难度：中等

已知动点P在曲线2x²-y=0上移动，则点A（0，-1）与点P连线中点的轨迹方程是（ ）
A．y=2x²
B．y=8x²
C．2y=8x²-1
D．2y=8x²+1

5. 难度：中等

用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域区分开，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A．400种
B．460种
C．480种
D．496种

6. 难度：中等

设2a是1+b和1-b的等比中项，则6a+4b的最大值为（ ）
A．10
B．7
C．5
D．

7. 难度：中等

在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱所在的直线成异面直线的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若，0＜β＜π，且，，则sinα等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知点A，B，C不共线，且有，则有（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．
B．[2，+∞）
C．（0，2]
D．

二、解答题

11. 难度：中等

已知集合M={-1，1}，，则M∩N=    ．

12. 难度：中等

在（1+x）ⁿ（n∈N^*）的二项展开式中，若只有x⁵系数最大，则n=    ．

13. 难度：中等

已知向量，，且，，则向量=    ．

14. 难度：中等

某运动员投篮投中的概率p=0.6，那么该运动员重复5次投篮，投中次数η的期望是    ；方差是    ．

15. 难度：中等

如果函数f（x）=5sin（ωx+）满足条件f（x+3）+f（x）=0，则正数ω=    ．

16. 难度：中等

如果点p在平面区域上，点Q在曲线（x+2）²+y²=1上，那么|PQ|的最大值为    ．

17. 难度：中等

如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题：①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②三棱锥A′-FED的体积有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；
④异面直线A′E与BD不可能互相垂直；⑤异面直线FE与A′D所成角的取值范围是．其中正确命题的序号是    ．（将正确命题的序号都填上）

18. 难度：中等

设函数．
（1）试判定函数f（x）的单调性，并说明理由；
（2）已知函数f（x）的图象在点A（x，f（x））处的切线斜率为，求的值．

19. 难度：中等

如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D全等，且所在平面所成的二面角为a，记两个矩形对角线的交点分别为Q，Q′，AB=a，AD=b．
（1）求证：QQ′∥平面ABB′；
（2）当，且时，求异面直线AC与DB′所成的角；
（3）当a＞b，且AC⊥DB'时，求二面角a的余弦值（用a，b表示）．

20. 难度：中等

如图，在椭圆C中，点F₁是左焦点，A（a，0），B（0，b）分别为右顶点和上顶点，点O为椭圆的中心．又点P在椭圆上，且满足条件：OP∥AB，点H是点P在x轴上的射影．
（1）求证：当a取定值时，点H必为定点；
（2）如果点H落在左顶点与左焦点之间，试求椭圆离心率的取值范围；
（3）如果以OP为直径的圆与直线AB相切，且凸四边形ABPH的面积等于，求椭圆的方程．

21. 难度：中等

某远洋捕渔船到远海捕鱼，由于远海渔业资源丰富，每撒一次网都有w万元的收益；同时，又由于远海风云未测，每撒一次网存在遭遇沉船事故的可能，其概率为（常数k为大于l的正整数）．假定，捕鱼船吨位很大，可以装下几次撒网所捕的鱼，而在每次撒网时，发生不发生沉船事故与前一次撒网无关，若发生沉船事故，则原来所获的收益将随船的沉没而不存在，又已知船长计划在此处撒网n次．
（1）当n=3时，求捕鱼收益的期望值
（2）试求n的值，使这次远洋捕鱼收益的期望值达到最大．

22. 难度：中等

设数列{x_n}的所有项都是不等于1的正数，前n项和为S_n，已知点P_n（x_n，S_n）在直线y=kx+b上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又y_n=log_0.5x_n．
（1）求证：数列{x_n}是等比数列；
（2）如果y_n=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t，s∈N^*，s≠t，使得点（t，y_s）和（s，y_t）都在直线y=2x+1上，试判断，是否存在自然数M，当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．