2010年哈尔滨三中、东北育才、大连育明、天津耀华四校高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={y|y=2^x，x＞0}，N={x|y=lg（2x-x²）}，则M∪N=（ ）
A．（1，2）
B．（1，+∞）
C．（0，+∞）
D．（2，+∞）

2. 难度：中等

若（3x+）ⁿ的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x的整数次幂的项共有（ ）
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项

3. 难度：中等

已知复数z满足=3+4i（i是虚数单位），则z=（ ）
A．3+i
B．4-3i
C．2-3i
D．3-i

4. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+b（a≠0），若∫³f（x）dx=3f（x），则x=（ ）
A．±1
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

从1004名学生中选取50名参加活动，若采用下面的方法选取：选用简单随机抽样从1004人中剔除4人，剩下的1000人再按系统抽样的方法进行抽样，则每人入选的概率（ ）
A．不全相等
B．均不相等
C．都相等且为
D．都相等且为

6. 难度：中等

已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如图，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．2π
D．4π

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若m＞1且a_m-1+a_m+1-a_m²-1=0，S_2m-1=39，则m等于（ ）
A．10
B．19
C．20
D．39

8. 难度：中等

已知O是△ABC内部一点，++=，•=2且∠BAC=60°，则△OBC的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．i=2008
B．i＞2009
C．i＞2010
D．i=2012

10. 难度：中等

过抛物线y²=2x的焦点作一条直线与抛物线交于两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ）
A．有且只有一条
B．有且只有两条
C．有且只有三条
D．有且只有四条

11. 难度：中等

有5种颜色可供使用，将一个五棱锥的各侧面涂色，五个侧面分别编有1，2，3，4，5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法数为（ ）
A．420
B．720
C．1020
D．1620

12. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且为奇函数，若实数s，t满足不等式f（s²-2s）≥-f（2t-t²），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（ ）
A．[-2，10]
B．[-2，16]
C．[4，10]
D．[4，16]

二、解答题

13. 难度：中等

如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）图中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n≥2）行的第2个数是    ．

14. 难度：中等

给定下列四个命题：
①∃x∈R，sinx+cosx；
②∃x∈[0，]，=cosx；
③已知随机变量X～N（μ，ρ²），ρ越小，则X集中在μ周围的概率越大；
④用相关指数R²来刻画回归的效果就越好，R²取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好．其中为真命题的是    ．

15. 难度：中等

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F做双曲线C的一条渐近线的垂线，与双曲线交于M，垂足为N，若M为线段FN的中点，则双曲线C的离心率为     ．

16. 难度：中等

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿对角形BD将△BDC折起得到三棱锥C-ABD，且三棱锥的体积为，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为    ．

17. 难度：中等

2009年11月30时3时许，位于哈尔滨市南岗区东大直街323号的大世界商城发生火灾，为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A，B分别是水枪位置，已知米，在A处看到着火点的仰角为60°，∠ABC=30°，∠BAC=105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？

18. 难度：中等

单位为30元/件的日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘（上面扇形的圆心角都相等），按照指针所指区域的数字购买商品的件数，在摇动转盘之前，顾客可以购买20元/张的代金券（限每人至多买12张），每张可以换一件该产品，如果不能按照指针所指区域的数字将代金券用完，那么余下的不能再用，但商场会以6元/张的价格回收代金券，每人只能参加一次这个活动，并且不能代替别人购买．
（1）如果某顾客购买12张代金券，最好的结果是什么？出现这种结果的概率是多少？
（2）求需要这种产品的顾客，能够购买到该产品件数ξ的分布列及均值．
（3）如果某顾客购买8张代金券，求该顾客得到优惠的钱数的均值．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A₁B上，且AB⊥CP．
（1）证明：P为A₁B中点．
（2）若A₁B⊥AC₁，求二面角B₁-PC-B的余弦值．

20. 难度：中等

已知定点，B是圆（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

21. 难度：中等

已知对任意的x＞0恒有a1nx≤b（x-1）成立．
（1）求正数a与b的关系；
（2）若a=1，设f（x）=m+n，（m，n∈R），若1nx≤f（x）≤b（x-1）对∀x＞0恒成立，求函数f（x）的解析式；
（3）证明：1n（n!）＞2n-4（n∈N，n≥2）

22. 难度：中等

在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若AC=3，求AP•AD的值．

23. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．

24. 难度：中等

已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求实数x的取值范围．