2011年湖北省黄冈市高三数学交流试卷6（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知z∈C，若|z|-=2-4i，则的值是（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

若α为锐角，且，则cos2α=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设抛物线的顶点在原点，其焦点在y轴上，又抛物线上的点P（k，-2）与焦点F的距离为4，则k等于（ ）
A．4
B．4或-4
C．-2
D．-2或2

4. 难度：中等

某校1000名同龄学生的体重X（kg）服从正态分布N（μ，2²），且正态分布的密度曲线如下图所示，若58.5～62.5kg体重属于正常情况，则这1000名学生中体重属于正常情况的人数约是（其中 φ（1）=0.8413）（ ）

A．683
B．819
C．954
D．997

5. 难度：中等

函数的值域为（ ）
A．[1，]
B．[1，]
C．[1，]
D．[1，2]

6. 难度：中等

已知y=f（x）=ln|x|，则下列各命题中，正确的命题是（ ）
A．x＞0时，f'（x）=，x＜0时，f'（x）=-
B．x＞0时，f'（x）=，x＜0时，f'（x）无意义
C．x≠0时，都有f'（x）=
D．∵x=0时f（x）无意义，∴对y=ln|x|不能求导

7. 难度：中等

已知方程x²+-=0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a²）、B（b，b²）的直线与圆x²+y²=1的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．随θ值的变化而变化

8. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₄-1）³+2007（a₄-1）=1，（a₂₀₀₄-1）³+2007（a₂₀₀₄-1）=-1，则下列结论中正确的是（ ）
A．S₂₀₀₇=2007，a₂₀₀₄＜a₄
B．S₂₀₀₇=2007，a₂₀₀₄＞a₄
C．S₂₀₀₇=2008，a₂₀₀₄≤a₄
D．S₂₀₀₇=2008，a₂₀₀₄≥a₄

9. 难度：中等

学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且，则文娱队的人数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

10. 难度：中等

三个半径为R的球互相外切，且每个球都同时与另两个半径为r的球外切．如果这两个半径为r的球也互相外切，则R与r的关系是（ ）
A．R=r
B．R=2r
C．R=3r
D．R=6r

二、解答题

11. 难度：中等

设命题P：函数f（x）═x+（a＞0）在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式|x-1|-|x+2|＜4a对任意x∈R都成立．若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知极限=1，则极限=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d在区间[-1，2]上是减函数，那么b+c有最大值    ．

14. 难度：中等

如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、B'，则AB：A'B'=    ．

15. 难度：中等

把实数a，b，c，d排形成如的形式，称之为二行二列矩阵．定义矩阵的一种运算•，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），则点（2，3）在矩阵的作用下变换成点    ，又若曲线x²+4xy+2y²=1在矩阵的作用下变换成曲线x²-2y²=1，则a+b的值为    ．

16. 难度：中等

已知向量=（1+cosB，sinB）与向量=（0，1）的夹角为，其中A、B、C为△ABC的三个内角．
（1）求角B的大小；
（2）若AC=，求△ABC周长的最大值．

17. 难度：中等

设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51，假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响．设试验成功的方案的个数ξ．
（1）求p的值； 
（2）求ξ的数学期望Eξ与方差Dξ．

18. 难度：中等

将两块三角板按图甲方式拼好（A、B、C、D四点共面），其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使点D在平面ABC上的射影O恰好在AB上（如图乙）．
（1）求证：AD⊥平面BDC；
（2）求二面角D-AC-B的大小；
（3）求异面直线AC与BD所成角的大小．

19. 难度：中等

已知椭圆的一条准线方程是，其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C₁的方程及双曲线C₂的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C₂上一点P，连接AP交椭圆C₁于点M，连接PB并延长交椭圆C₁于点N，若．求的值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-．

21. 难度：中等

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若函数确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求{b_n}的通项公式；
（2）对（1）中{b_n}，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，若数列{c_n}的反数列为{d_n}，{c_n}与{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}，求数列{t_n}前n项和S_n．