2011年上海市高三4月调研数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若Zi-Z-2=（i+1）²（i为虚数单位），则|Z|=    ．

2. 难度：中等

函数f（x）=lg（1-2^x）的定义域为    ．

3. 难度：中等

设集合A={3，sinα}，B={2，cosα}，若，且α∈[0，2π]，则α=    ．

4. 难度：中等

已知直线l₁：ax-y+2a+1=0和l₂：2x-（a-1）y+3=0（a∈R），若l₁与l₂平行，则a=    ．

5. 难度：中等

已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，且与有相同的焦点，则其标准方程为    ．

6. 难度：中等

甲箱子里有3个白球，2个黑球，乙箱子里有2个白球，3个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率为    ．

7. 难度：中等

已知向量，若与垂直，则=    ．

8. 难度：中等

按下图所示的程序框图运算，若输入x=17，则输出的x值是    ．

9. 难度：中等

已知二项式（3x+2）ⁿ的展开式中所有项的系数和为3125，则此展开式中含x⁴项的系数是    ．

10. 难度：中等

函数的值域是    ．

11. 难度：中等

在极坐标系中，由极点向直线l引垂线，垂足为点，则直线l的极坐标方程为    ．

12. 难度：中等

已知无穷等比数列{a_n} 中，a₁=1，公比q≠-1，且a₂+a₃=9（a₄+a₅），那么这个等比数列的所有项的和为    ．

13. 难度：中等

地球上最著名的几何物体莫过于埃及的吉沙（Giza）大金字塔，它的形状是正四棱锥．有着奇妙神秘的走道设计，以及神秘的密室．已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积．则侧面与底面所成的二面角的余弦值为    ．（精确到0.001）

14. 难度：中等

若a＞0且a≠1，函数y=|a^x-2|与y=3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若m、n是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若m∥n，n∥α，则m∥α
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥α，则m⊥α

16. 难度：中等

函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数

17. 难度：中等

“x＞a”是“x＞-1”成立的充分不必要条件（ ）
A．a的值可以是-8
B．a的值可以是
C．a的值可以是-1
D．a的值可以是-3

18. 难度：中等

已知等式，其中，使这个等式成立的实数x（ ）
A．仅有一个
B．至少有一个
C．恰有两个
D．不存在

三、解答题

19. 难度：中等

如图，直三棱锥D-ABC，已知DC⊥平面ABC，AB=20米，从点A处看到点D的仰角为60°，∠ABC=30°，∠BAC=105°，分别求AD、BD的长（精确到0.01米）

20. 难度：中等

已知函数，x∈（0，π）
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）如果关于x的方程|f（x）|=m，在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

A是由在[1，4]上有意义且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合；
①对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L|x₁-x₂|
（1）设，证明：φ（x）∈A；
（2）设，是否存在设x∈（1，2），使得x=φ（2x），如存在，求出所有的x，如不存在请说明理由！

22. 难度：中等

已知点A（2，0），点M为曲线上任意一点，点P为AM的中点；点P的轨迹为C；
（1）求动点P的轨迹C的方程F（x，y）=0；
（2）将轨迹C的方程变形为函数y=f（x）；请写出此函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、最值等（不证明），并画出大致图象．
（3）若直线与轨迹C有两个不同的公共点B，K，且点G的坐标为，求|BG|+|KG|的值．

23. 难度：中等

已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x称为函数f（x）的不动点；若a₁∈D，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），则称{a_n} 为由函数f（x）导出的数列．
设函数g（x）=，h（x）=
（1）求函数g（x）的不动点x₁，x₂；
（2）设a₁=3，{a_n} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x₁，x₂（不妨设x₁＜x₂），数列求证是等比数列，并求；
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{b_n}，（其中b₁=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{b_n}，若存在正整数T，对一切n∈N^*都有b_n+T=b_n，则称数列{b_n} 为周期数列，T是它的一个周期．