2010-2011学年江苏省天一中学、海门中学、盐城中学联考高三（下）2月调研数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知z₁=1+i，z₂=1-i，且，则z=    ．

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且a₁，成等差数列，则=    ．

3. 难度：中等

函数的值域为    ．

4. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则输出S的值是   

5. 难度：中等

观察（x²）'=2x，（x⁴）'=4x³，（cosx）'=-sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）与g（x）的关系是    ．

6. 难度：中等

已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的    条件．

7. 难度：中等

用数字1，2，3作为函数y=ax²+bx+c的系数，则该函数有零点的概率为    ．

8. 难度：中等

已知点P（a，b）在由不等式组确定的平面区域内，则点Q（a，-b）所在平面区域的面积是    ．

9. 难度：中等

给出下列四个命题：①函数的图象关于点对称；②若a≥b＞-1，则；③存在实数x，使x³+x²+1=0；④设P（x₁，y₁）为圆O₁：x²+y²=9上任意一点，圆O₂：（x-a）²+（y-b）²=1，当（x₁-a）²+（y₁-b）²=1时，两圆相切．其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确的都填上）

10. 难度：中等

在△ABC中，AB=4，AC=2，M是△ABC内一点，且满足，则=    ．

11. 难度：中等

在直角坐标系中，过双曲线的左焦点F作圆x²+y²=1的一条切线（切点为T）交双曲线右支于P，若M为线段FP的中点，则OM-MT=    ．

12. 难度：中等

在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则=    ．

13. 难度：中等

在等差数列a_n中，S_n表示其前n项，若，，则S_n+m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设函数，区间M=[a，b]（其中a＜b）集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有    个．

15. 难度：中等

如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），，四边形OAQP的面积为S．
（1）求的最大值及此时θ的值θ；
（2）设点B的坐标为，∠AOB=α，在（1）的条件下求cos（α+θ）．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE是直角梯形，∠BED=90°，BE∥CD，AB=6，BC=5，，侧面ABE⊥底面BCDE，∠BAE=90°．
（1）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（2）过点D作面α∥平面ABC，分别于BE，AE交于点F，G，求△DFG的面积．

17. 难度：中等

如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东a角的射线OZ方向航行，其中tana=，在距离港口O为3a（a为正常数）海里北偏东β角的A处有一个供科学考察船物资的小岛，其中cosβ=，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变追赶科学考察船，并在C处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成三角形OBC的面积S最小时，补给最合适．
（1）求S关于m的函数关系式S（m）；
（2）当m为何值时，补给最合适？

18. 难度：中等

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF₂为直径的圆．
（Ⅰ）当⊙M的面积为时，求PA所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙M与直线AF₁相切时，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．

19. 难度：中等

在数列a_n中，，其中n∈N^*．
（1）求证：数列b_n为等差数列；
（2）设，试问数列c_n中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
（3）已知当n∈N^*且n≥6时，，其中m=1，2，…n，求满足等式的所有n的值．

20. 难度：中等

已知函数，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）中当a=0时，函数y=f（x）的图象上任意不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为C（x，y），记直线AB的斜率为k，试证明：k＞f'（x）．
（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知⊙O₁与⊙O₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ．
（1）写出⊙O₁和⊙O₂的圆心的极坐标；
（2）求经过⊙O₁和⊙O₂交点的直线的极坐标方程．

22. 难度：中等

若（1-2x）²⁰¹¹=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹（x∈R），求的值．

23. 难度：中等

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC上一点，且PA∥平面BDM．
（1）求证：M为PC中点；
（2）求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小．

24. 难度：中等

已知抛物线L的方程为x²=2py（p＞0），直线y=x截抛物线L所得弦．
（1）求p的值；
（2）抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．