2011年浙江省杭州市萧山区高考数学模拟试卷13（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合，，则A∩B=（ ）
A．[-∞，1]
B．[-1，1]
C．∅
D．1

2. 难度：中等

在复平面内，复数+（1+i）²对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

实数a=0是直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

4. 难度：中等

在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本，有以下三种抽样方法：
①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，…，99，抽签取出20个；
②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组随机抽取1个；
③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
则下述判断中正确的是（ ）
A．不论采用何种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为
B．①、②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为；③并非如此
C．①、③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为；②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性是各不相同的

5. 难度：中等

若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+4分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A．
B．
C．-
D．-

6. 难度：中等

设数列{a_n}是等差数列，a₂=-6，a₈=6，S_n是数列{a_n}的前n项和，则（ ）
A．S₄＜S₅
B．S₄=S₅
C．S₆＜S₅
D．S₆=S₅

7. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．2π+2
B．4π+2
C．2π+
D．4π+

8. 难度：中等

△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（ ）
A．4sin（B+）+3
B．4sin（B+）+3
C．6sin（B+）+3
D．6sin（B+）+3

9. 难度：中等

已知双曲线，两焦点为F₁，F₂，过F₂作x轴的垂线交双曲线与A，B两点，且△ABF₁内切原的半径为a，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）是定义在（e，+∞）的可导函数，且对于任意的x都有xf'（x）＞f（x）＞0，给出下列不等式：①f（a）＞f（e）；②f（a）＜f（e）；③f（a）＞lna•f（e）；④f（a）＜lna•f（e）其中一定成立的是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、解答题

11. 难度：中等

已知（xcosθ+1）⁵的展开式中x²的系数与（x+）⁴的展开式中的x³的系数相等，则cosθ=    ．

12. 难度：中等

已知向量，，若，则夹角θ的取值范围是    ．

13. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的K的值是    ．

14. 难度：中等

过点P（0，1）作直线l交圆C：x²+y²=4与两点，过其中任一点A作直线l的垂线交圆于点B，当直线l绕点P转动时，则AB最长为    ．

15. 难度：中等

已知函数，且关于x的方程f（x）+x-a=0有且仅有两个实根，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有    ．

17. 难度：中等

如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为    ．

18. 难度：中等

已知向量，，，其中a，b，c为实数，满足f（x）的图象关于对称，且在P处的切线斜率为-4，
（1）求f（x）的解析式；
（2）在非钝角△ABC中，，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

19. 难度：中等

某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
（2）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问：商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

20. 难度：中等

如图ABCD正方形，边长为1，EC⊥平面ABCD，EC∥AF，且λEC=AF（λ＞1），
（1）证明：BD⊥EF
（2）若EC=1，求二面角B-EF-C平面角的取值范围；
（3）设G是△BDF的重心，试问，是否有可能EG⊥平面BDF，若能求出EC的最小值，若不能，请说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）D为椭圆C的右顶点，设A是椭圆上异于D的一动点，作AD的垂线交椭圆与点B，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

22. 难度：中等

设函数（p是实数，e是自然对数的底数）
（1）若函数f（x）在定义域内不单调，求实数p的取值范围；
（2）若在[1，e]上至少存在一个x，使得f（x）＞g（x），求实数p的取值范围．