2006年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若z₁=，z₂=，则有（ ）
A．z₁z₂=z₁²
B．z₁z₂=z₂²
C．z₁z₂=1
D．2z₁z₂=-1

2. 难度：中等

函数是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为的奇函数

3. 难度：中等

椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是（ ）
A．
B．
C．1
D．

4. 难度：中等

已知||=||=2，•=-2，且（+）⊥（+t），则实数t的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

5. 难度：中等

已知P是以F₁，F₂为焦点的双曲线上的一点，若•=0，tan∠PF₁F₂=2，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．5
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知函数y=log₂x的图象C，做下列变换并把所得图象画在同一直角坐标系中：
（1）把C向上平移1个单位得到图象C₁；
（2）把C上每一点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变得到图象C₂，
（3）把C向左平移个单位得到图象C₃，
（4）把C关于直线y=x对称得到图象C₄，则下列正确的一个判断是（ ）
A．图象C₁与C₂重合
B．图象C₁与C₄重合
C．图象C₂与C₃重合
D．图象C₂与C₄重合

7. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E为棱AA₁的中点，直线l过E点与异面直线BC、C₁D₁分别相交于M、N两点，则线段MN的长等于（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

8. 难度：中等

已知数列{a_n}满足条件：a₁=，a_n+1=a_n（1-a_n），则对任意正偶数n，a_n+1-a_n=的概率等于（ ）
A．1
B．
C．
D．

9. 难度：中等

某旅馆有三人间，两人间，单人间三种房间各一间，有三位成人带两个小孩来此住宿，小孩不宜单住一间（必须有成人陪同），则不同的安排住宿方法有（ ）
A．35种
B．27种
C．21种
D．18种

10. 难度：中等

设f（x）=x³+bx²+cx，又m是一个常数．已知当m＜0或m＞4时，f（x）-m=0只有一个实根；当0＜m＜4时，f（x）-m=0有三个相异实根，现给出下列命题：
（1）f（x）-4=0和f'（x）=0有一个相同的实根；
（2）f（x）=0和f'（x）=0有一个相同的实根；
（3）f（x）+3=0的任一实根大于f（x）-1=0的任一实根；
（4）f（x）+5=0的任一实根小于f（x）-2=0的任一实根．其中错误命题的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、解答题

11. 难度：中等

在直角坐标系中，有四点A（-1，2），B （0，1），C （1，2），D （x，y）同时位于一条拋物线上，则x与y满足的关系式是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=1-3（x-1）+3（x-1）²-（x-1）³ ，则：f^-1（8）+f（1）=    ．

13. 难度：中等

设f（x）=sinx+cosx，若，则f（x₁）与f（x₂）的大小关系是    ．

14. 难度：中等

有如下四个命题：
①平面α和平面β垂直的充要条件是平面α内至少有一条直线与平面β垂直；
②平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行；
③直线a与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a平行；
④两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件．
其中正确的序号是    ．

15. 难度：中等

已知．
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）若f（x）=2，，求x的值．

16. 难度：中等

由计算机随机选出大批正整数，取其最高位数字（如 35为3，110为1）的次数构成一个分布，已知这个分布中，数字1，2，3，…，9出现的概率正好构成一个首项为的等差数列．现从这批正整数中任取一个，记其最高位数字为x （x=1，2，…，9）．
（1）求x的概率分布；
（2）求x的期望Ex．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上，又∠BAD=90°，BC∥AD，且BC：AB：AD=1：2：2．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）若PO=BC，求直线PD与AB所成的角；
（3）若平面APB与平面PCD所成的角为60°，求的值．

18. 难度：中等

椭圆的中心在原点O，短轴长为，左焦点为F（-c，0）（c＞0），相应的准线l与x轴交于点A，且点F分的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若PF⊥QF，求直线PQ的方程．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和S_n满足：t（S_n+1+1）=（2t+1）S _n  n∈N*．
（1）求证{a_n}是等比数列；
（2）若{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=f（），求{b_n}的通项公式；
（3）定义数列{c_n}为：c_n=，求{c_n}的前n项和T_n，并求．

20. 难度：中等

已知函数，存在实数x₁，x₂满足下列条件：①x₁＜x₂；②f′（x₁）=f′（x₂）=0；③|x₁|+|x₂|=2
（1）证明：0＜a≤3；（2）求b的取值范围；
（3）若函数h（x）=f′（x）-6a（x-x₁），证明：当x₁＜x＜2时|h（x₁）|≤12a．