2007年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x||x|=x}，B={x|x²-x＞0}，则A∩B=（ ）
A．[0，1]
B．（-∞，0]
C．（1，+∞）
D．（∞，-1）

2. 难度：中等

设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β
④若m∥n，n⊂α，则m∥α
其中真命题的序号是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．①③

3. 难度：中等

“ω=2”是“函数y=sin（ωx+φ）的最小正周期为π”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

将圆x²+y²=1按向量平移后，恰好与直线x-y+b=0相切，则实数b的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

5. 难度：中等

在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数的图象可能是下列图象中的（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

以椭圆的右焦点F₂为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心O并交椭圆于点M，N，若过椭圆左焦点F₁的直线MF₁是圆F₂的切线，则椭圆的离心率（ ）
A．
B．
C．-1
D．不确定

8. 难度：中等

函数y=kx+b，其中k，b（k≠0）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数．对于非线性可导函数f（x），在点x附近一点x的函数值f（x），可以用如下方法求其近似代替值：f（x）≈f（x）+f′（x）（x-x）．利用这一方法，的近似代替值（ ）
A．大于m
B．小于m
C．等于m
D．与m的大小关系无法确定

二、解答题

9. 难度：中等

若z₁=a+2i，z₂=3-4i，且z₁+z₂为纯虚数，则实数a的值为   

10. 难度：中等

一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积V=    ．

11. 难度：中等

已知向量=（4，0），=（2，2），则=    ；与的夹角的大小为    °．

12. 难度：中等

已知函数，若f（x）≥2，则x的取值范围是    ．

13. 难度：中等

有这样一种数学游戏：在3×3的表格中，要求每个格子中都填上1、2、3三个数字中的某一个数字，且每一行和每一列都不能出现重复的数字，则此游戏共有    种不同的填法．

14. 难度：中等

数列{a_n}，{b_n}（n=1，2，3，…）由下列条件所确定：
（ⅰ）a₁＜0，b₁＞0；
（ⅱ）k≥2时，a_k与b_k满足如下条件：

当a_k-1+b_k-1≥0时，a_k=a_k-1，b_k=；
当a_k-1+b_k-1＜0时，a_k=，b_k=b_k-1．
那么，当b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）时，用a₁，b₁表示{b_k}的通项公式为b_k=   

15. 难度：中等

已知α为钝角，且
求：（Ⅰ）tanα；
（Ⅱ）．

16. 难度：中等

某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．
（Ⅰ）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求ξ的期望Eξ；
（Ⅱ）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=，E是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；
（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-AB-D的大小．

18. 难度：中等

已知：f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿ•n，n=1，2，3，…
（I）求a₁、a₂、a₃；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：．

19. 难度：中等

如图，和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足．
（Ⅰ）求m•n的值；
（Ⅱ）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（Ⅲ）若直线l过点E（2，0）交（Ⅱ）中曲线C于M、N两点，且，求l的方程．

20. 难度：中等

设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判断f（x）在区间（α，β）上的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）若λ，μ为正实数，证明不等式：