2011年高三数学单元检测：圆锥曲线与方程（2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点坐标是（ ）
A．（4，0）
B．（2，0）
C．（1，0）
D．

2. 难度：中等

在抛物线y²=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

3. 难度：中等

若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．

4. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．

5. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d₁，到直线x+2y+10=0的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值是（ ）
A．5
B．4
C．
D．

6. 难度：中等

当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（ ）
A．y²=-x或x²=y
B．y²=x或x²=y
C．y²=x或x²=-y
D．y²=-x或x²=-y

7. 难度：中等

圆心在抛物线y²=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）
A．x²+y²-x-2y-=0
B．x²+y²+x-2y+1=0
C．x²+y²-x-2y+1=0
D．x²+y²-x-2y+=0

8. 难度：中等

抛物线（x-2）²=2（y-m+2）的焦点在x轴上，则实数m的值为（ ）
A．0
B．
C．2
D．3

9. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

10. 难度：中等

将抛物线y=x²-4x+3绕其顶点顺时针旋转90，则抛物线方程为（ ）
A．（y+1）²=2-
B．（y+1）²=x-2
C．（y-1）²=2-
D．（y-1）²=x-2

11. 难度：中等

一个动圆的圆心在抛物线y²=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点（ ）
A．（0，2）
B．（0，-2）
C．（2，0）
D．（4，0）

12. 难度：中等

过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（ ）
A．2a
B．
C．4a
D．

二、解答题

13. 难度：中等

若直线ax-y+1=0经过抛物线y²=4x的焦点，则实数a=    ．

14. 难度：中等

已知抛物线y=ax²-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为    ．

15. 难度：中等

已知圆C的圆心与抛物线y²=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x-3y-2=0与圆C相交与A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为    ．

16. 难度：中等

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为    ．

17. 难度：中等

已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y=2x+1交于P、Q两点，|PQ|=，求抛物线的方程．

18. 难度：中等

某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，此车能否通过此隧道？请说明理由．

19. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成2：1，求这条直线的方程．

20. 难度：中等

抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．

21. 难度：中等

如图，直线l与抛物线y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴相交于点M，且y₁y₂=-1．
（1）求证：M点的坐标为（1，0）；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值．

22. 难度：中等

已知抛物线y²=4x及点P（2，2），直线l的斜率为1且不过点P，与抛物线交于点A，B，
（1）求直线l在y轴上截距的取值范围；
（2）若AP，BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD，BC交于定点．