2011年湖南省岳阳市高三质量检测数学试卷（二）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，则（1+i）（1-i）=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．2i

2. 难度：中等

命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是（ ）
A．若a＞b，则a-1≤b-1
B．若a≥b，则a-1＜b-1
C．若a≤b，则a-1≤b-1
D．若a＜b，则a-1＜b-1

3. 难度：中等

若集合M={1，m²}，集合N={2，4}，M∪N={1，2，4}，则实数m的值的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

2010年某高校有2400名毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有200人，本科生有1000人，研究生有1200人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为n的样本，已知从专科生中抽取的人数为10人，则n等于（ ）
A．100
B．200
C．120
D．240

5. 难度：中等

设数列{a_n}是等差数列，且a₂=-8，a₁₅=5，S_n是数列{a_n}的前n项和，则（ ）
A．S₉＜S₁₀
B．S₉=S₁₀
C．S₁₁＜S₁₀
D．S₁₁=S₁₀

6. 难度：中等

设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β、那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题

7. 难度：中等

设F为抛物线y=-的焦点，与抛物线相切于点P（-4，-4）的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

8. 难度：中等

某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）

A．f（x）=x²
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是    ．

10. 难度：中等

已知实数x，y满足，则Z=2x+3y的最小值是    ．

11. 难度：中等

设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的值等于    ．

12. 难度：中等

2008年1号台风“浣熊“（NEOGURI）于4月19日下午减弱为热带低压后登陆阳江、如图，位于港口O正东向20海里B处的渔船回港避风时出现故障、位于港口南偏西30°，距港口10海里C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到达B处需要    小时．

13. 难度：中等

函数，则方程f（x）-x=0的根为    ．

14. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm³）为    cm³．

15. 难度：中等

在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是     ．

16. 难度：中等

用分数法对[0，105]区间段进行优选法试验，按5一等分，共分为21等分，可得第一个试点的点为    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当时，求函数f（x）的最大值，并写出x的相应的取值．

18. 难度：中等

某校高三文科分为五个班．高三数学测试后，随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了18人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05，此分数段的人数为5人．
（1）问各班被抽取的学生人数各为多少人？
（2）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（I）求椭圆方程；
（II）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．求证：为定值．

21. 难度：中等

某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得相应的补贴分别为p，mln（q+1）（m＞0）万元已知厂家把价值为10万元的A、B两种型号的电视机投放市场，且A、B两种型号的电视机投放金额都不低于1万元（精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4）．
（1）当时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；
（2）讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx，数列{a_n}满足
（1）求证：当时，不等式恒成立；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：．