2010-2011学年山西省太原五中高三（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知m∈R，复数-的实部与虚部相等，则m等于（ ）
A．
B．2
C．-1
D．-2

2. 难度：中等

已知、是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
A．λ+μ=1
B．λ-μ=1
C．λμ=-1
D．λμ=1

3. 难度：中等

给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；
④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（ ）
A．③
B．③④
C．②③④
D．①②③④

4. 难度：中等

已知两条不重合的直线m，n两个不重合的平面a，b 给出下列命题
①若m⊥a，n⊥b 且m⊥n则a⊥b   ②若m∥a，n∥b 且m∥n则a∥b
③若m⊥a，n∥b 且m⊥n则a⊥b   ④若m⊥a，n∥b 且m∥n则a∥b
其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是（ ）

A．8
B．12
C．
D．

6. 难度：中等

一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数f（x）=2cos²x+sin2x-1，给出下列四个命题
①函数在区间上是减函数；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数f（x）的图象可由函数的图象向左平移而得到；④若，则f（x）的值域是．其中所有正确的命题的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②④
D．②④

9. 难度：中等

已知变量x、y满足约束条件，则f（x，y）=的取值范围是（ ）
A．（，）
B．（，+∞）
C．[，]
D．（-∞，）

10. 难度：中等

如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（-x）+x的解集为（ ）

A．{或}
B．或
C．或}
D．，且x≠0}

11. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得=4a₁，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

12. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+m-2f′（1），m∈R．函数f（x）的图象过点（1，-2）且函数g（x）=+af（x）在点（1，g（1））处的切线与y轴垂直，则g（x）的极小值为（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

二、解答题

13. 难度：中等

若a=（sinx+cosx）dx，则二项式（a-）⁶展开式中x²项的系数为    ．

14. 难度：中等

若=3，tan（α-β）=2，则tan（β-2α）=    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

椭圆 （a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为    ．

17. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin²A+sin2A=cos²A，cosB=，b=2．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．

18. 难度：中等

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（I）估计这次测试数学成绩的平均分；
（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC=BC=BB₁
（1）求证：BC₁∥平面CA₁D
（2）求证：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B
（3）求二面角C-DA₁-C₁的余弦值．

20. 难度：中等

已知离心率为的椭圆C：过点，O为坐标原点
（1）求椭圆方程
（2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若直线l是圆O：的一条切线，求证：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f （x）=在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）
（Ⅲ）设常数p≥1，数列{a_n}满足a_n+1=a_n+ln（p-a_n）（n∈N*），a₁=lnp，求证：a_n+1≥a_n．

22. 难度：中等

如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC²=BE×CD．

23. 难度：中等

已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ²cos2θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．