2011年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合M={x|x²-4≤0}，则∁_UM=    ．

2. 难度：中等

函数的定义域    ．

3. 难度：中等

已知l（）=b，a+b=    ．

4. 难度：中等

△ABC的三内角的正弦值的比为4：5：6，则三角形的最大角为    ．

5. 难度：中等

（理）已知函数f（x）=（）^x（x≤1）的反函数    ．

6. 难度：中等

（文）已知函数f（x）=3^x，x≥1的反函数    ．

7. 难度：中等

用数学归纳法证明“5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5^k+1-2^k+1变形为    ．

8. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₁=15，S₃=39，则过点P（2，a₂），Q（4，a₄）的直线的方向向量可以为    ．

9. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是    ．

10. 难度：中等

直线x-2y+5=0与圆x²+y²=8相交于A、B两点，则|AB|=    ．

11. 难度：中等

（理）已知a∈（0，π），则直线x+y•tanα+1=0的倾斜角为    （用α的代数式表示）

12. 难度：中等

已知α∈（0，），则直线x•tanα+y+1=0的倾斜角    （用α的代数式表示）

13. 难度：中等

执行如图的程序框图，输出T=    ．

14. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q≠1，若{a_n+c}也是等比数列，则c=    ．

15. 难度：中等

斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，AB的中点M（m，1），则m=    ．

16. 难度：中等

若{a_n}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，有正确的结论：（m-n）a_p+（n-p）a_m+（p-m）a_n=0，类比上述性质，相应地，若等比数列{b_n}，m，n，p是互不相等的正整数，有    ．

17. 难度：中等

（理）已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足，O为坐标原点，其中{a_n}、{b_n}分别为等差数列和等比数列，P₁是线段AB的中点，对于给定的公差不为零的a_n，都能找到唯一的一个b_n，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一个指数函数    （写出函数的解析式）的图象上．

18. 难度：中等

已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足，O为坐标原点，其中a_n、b_n分别为等差数列和等比数列，若P₁是线段AB的中点，设等差数列公差为d，等比数列公比为q，当d与q满足条件    时，点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…共线．

二、选择题

19. 难度：中等

在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

20. 难度：中等

车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（ ）
A．[0，5]
B．[5，10]
C．[10，15]
D．[15，20]

21. 难度：中等

若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f₁（x）=2log₂x，f₂（x）=log₂（x+2），f₃=log₂²x，f₄=log₂（2x）则“同形”函数是（ ）
A．f₁（x）与f₂（x）
B．f₂（x）与f₃（x）
C．f₂（x）与f₄（x）
D．f₁（x）与f₄（x）

22. 难度：中等

（理）设集合，，则A∩B的子集的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

23. 难度：中等

（文）设集合A={（x，y）|+=1}，B={（x，y）|y=a^x，a＞0，a≠1}，则A∩B的子集的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．1

三、解答题

24. 难度：中等

已知函数  （1）判别函数的奇偶性，说明理由；（2）解不等式．

25. 难度：中等

在△ABC中，已知角A为锐角，且．
（1）将f（A）化简成f（A）=Msin（ωA+φ）+N的形式；
（2）若，求边AC的长．

26. 难度：中等

已知是x，y轴正方向的单位向量，设，，且满足
（1）求点P（x，y）的轨迹E的方程．
（2）若直线l过点F₂（2，0）且法向量为=（t，1），直线与轨迹E交于P、Q两点．点M（-1，0），无论直线l绕点F₂怎样转动，是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．并求实数t的取值范围．

27. 难度：中等

已知，点P满足，记点P的轨迹为E，
（1）求轨迹E的方程；
（2）如果过点Q（0，m）且方向向量为=（1，1）的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当时，求△AOB的面积．

28. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，前kn项和记为S_kn（n，k∈N^*），对给定的常数k，若是与n无关的非零常数t=f（k），则称该数列{a_n}是“k类和科比数列”．
（理科）（1）已知，求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明（1）的数列{a_n}是一个“k类和科比数列”；
（3）设正数列{c_n}是一个等比数列，首项c₁，公比Q（Q≠1），若数列{lgc_n}是一个“k类和科比数列”，探究c₁与Q的关系．

29. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，前kn项和记为S_kn（n，k∈N^*），对给定的常数k，若是与n无关的非零常数t=f（k），则称该数列{a_n}是“k类和科比数列”．
（1）已知，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列，求证数列c_n是一个“1 类和科比数列”（4分）；
（3）设等差数列{b_n}是一个“k类和科比数列”，其中首项b₁，公差D，探究b₁与D的数量关系，并写出相应的常数t=f（k）．

30. 难度：中等

设，，其中m是不等于零的常数，
（1）（理）写出h（4x）的定义域；
（文）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f₂（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]．
（理）当m=1时，设，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．