2011年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|0＜x＜3}，B={x∈R|x²≥4}，则A∩B=（ ）
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|2≤x＜3}
C．{x|x≤-2或2≤x＜3}
D．R

2. 难度：中等

设，则（ ）
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．b＜c＜a

3. 难度：中等

函数图象的对称中心为（ ）
A．（0，0）
B．（0，1）
C．（1，0）
D．（1，1）

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的x值为（ ）
A．25
B．24
C．23
D．22

5. 难度：中等

从集合A={-1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={-2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在同一个坐标系中画出函数y=a^x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数则“-2≤a≤0”是“f（x）在R上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

若直线l被圆C：x²+y²=2所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A．（x-1）²+y²=1
B．+y²=1
C．y=x²
D．x²-y²=1

二、解答题

9. 难度：中等

计算=    ．

10. 难度：中等

为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s₁，s₂，s₃，则它们的大小关系为    ．（用“＞”连接）

11. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是上底面A₁B₁C₁D₁内一动点，则三棱锥P-ABC的主视图与左视图的面积的比值为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=xe^x，则f′（x）=    ；函数f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程为    ．

13. 难度：中等

已知向量=（x，2），=（l，y），其中x，y≥0．若•≤4，则y-x的取值范围为    ．

14. 难度：中等

如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为    ；f（x）的最大值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且c=1．
（Ⅰ）求tan（B+C）；
（Ⅱ）求a的值．

16. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2且S_n=S_n-1+2n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）是否存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉？若存在，则求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，则说明理由．

17. 难度：中等

如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，，且O为AB中点．
（ I ） 求证：BC∥平面POD；
（ II ） 求证：AC⊥PD．

18. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（II）若在区间[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．

20. 难度：中等

已知每项均是正整数的数列a₁，a₂，a₃，…a₁₀₀，其中等于i的项有k_i个（i=1，2，3…），设b_j=k₁+k₂+…k_j（j=1，2，3…），
g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m（m=1，2，3…）．
（Ⅰ）设数列k₁=40，k₂=30，k₃=20，k₄=10，k₅=…=k₁₀₀=0，求g（1），g（2），g（3），g（4）；
（II） 若 a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的项为50，比较g（m），g（m+1）的大小；
（Ⅲ）若a₁+a₂+…a₁₀₀=200，求函数g（m）的最小值．