2010年吉林省高考复习质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=x²-1}，B={y|y=x²-1}，C={（x，y）|y=x²-1}，则正确的是（ ）
A．A∪B=C
B．B=C
C．A⊆B
D．B∩C=φ

2. 难度：中等

对于函数f（x）=sinx+cosx，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若，则=（ ）
A．-1
B．
C．-7
D．7

4. 难度：中等

圆x²+y²-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a-b的取值范围是（ ）
A．（-∞，4）
B．（-∞，0）
C．（-4，+∞）
D．（4，+∞）

5. 难度：中等

已知正方形四个顶点分别为O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），曲线y=x²（x≥0）与x轴，直线x=1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

一个棱长均为4的四面体内接于一个球，则该球的表面积为（ ）
A．8π
B．12π
C．16π
D．24π

7. 难度：中等

甲、已乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况用茎叶图表示如下：
则下列说法中正确的个数为（ ）
（1）甲得分的中位数为26，乙得分的中位数为36；
（2）甲、乙比较，甲的稳定性更好；
（3）乙有的叶集中在茎3上；
（4）甲有的叶集中在茎1、2、3上．

A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

将1，2，3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（ ）
A．6种
B．12种
C．18种
D．24种

9. 难度：中等

如图，是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2a的直角三角形，侧视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知a=（cosx，sinx），b=（sinx，cosx），记f（x）=a•b，要得到函数y=sin⁴x-cos⁴x的图象，只需将函数y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

11. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，如图给出程序框图，当k=5时，输出的，则数列{a_n}的通项公式为（ ）

A．a_n=2n
B．a_n=2n-1
C．a_n=2n+1
D．a_n=2n-3

12. 难度：中等

已知函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，g（x）=-f（|x|），若g（lgx）＞g（1），则x的取值范围是（ ）
A．（0，10）
B．（10，+∞）
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

在△ABC中，AB=，BC=，C=30°，则角A=    ．

14. 难度：中等

已知变量x，y满足则目标函数z=x+2y的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知过双曲线-=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是    ．

16. 难度：中等

某学生对函数f（x）=2xcosx进行研究后，得出如下四个结论：
（1）函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
（2）存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；
（3）点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
（4）函数y=f（x）图象关于直线x=π对称．
其中正确的    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

17. 难度：中等

已知数列满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

18. 难度：中等

某市在“节约用水，保护水资源”的宣传教育活动中发布两则公益广告，活动组织者为了解宣传效果，对10-60岁人群随机抽样调查了n人，要求被调查的人回答广告内容，统计结果见下面的图表：

（I）请分别求出n，a，b，c，d的值．
（II）如果把表中的频率近似看作各年龄组中每正确回答广告内容的概率，并规定正确回答广告一、广告二的内容各获奖金20元，组织都随机请一所高中的一名学生18岁和一名教师42岁回答两广告内容，设师生两人获得奖数之和为ξ，求ξ的分布列及数学期望（各人之间及每人对能否正确回答两广告内容都相互独立）

19. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均为60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（I）求证：BD⊥AA₁
（II）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（III）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+1
（I）当时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设H（x）=[f（x）+a-1]e^x，当a＞-1且a≠0时，时求函数H（x）的单调区间和极值．

21. 难度：中等

已知A、B是圆x²+y²=4上满足条件的两个点，其中O是坐标原点，分别过A、B作x轴的垂线段，交椭圆x²+4y²=4于A₁、B₁点，动点P满足
（I）求动点P的轨迹方程
（II）设S₁和S₂分别表示△PAB和△B₁A₁A的面积，当点P在x轴的上方，点A在x轴的下方时，求S₁+S₂的最大值．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若，求的值．

23. 难度：中等

已知曲线C₁：ρ=2sinθ，曲线（t为参数）
（I）化C₁为直角坐标方程，化C₂为普通方程；
（II）若M为曲线C₂与x轴的交点，N为曲线C₁上一动点，求|MN|的最大值．

24. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）当a=-5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．