2010年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设是虚数单位），设集合M={-1，0，1}，则下列结论中正确的是（ ）
A．（1+ω）³∈M
B．ω³⊆M
C．
D．ω²+ω∉M

2. 难度：中等

如图为一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

使“lgm＜1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．m∈（0，+∞）
B．m∈{1，2}
C．0＜m＜10
D．m＜1

4. 难度：中等

在阳光体育活动中，全校学生积极参加室外跑步，高三（1）班每个学生上个月跑步的路程从大到小排列依次是a₁，a₂，a₃，…，a₅₀（任意i=1，2，…，49，a_i＞a_i+1），如图是计算该班上个月跑步路程前10名学生的平均路程的程序框图，则图中判断框①和处理框②内应分别填写（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在二项式（x²+x+1）（x-1）⁵的展开式中，含x⁴项的系数是（ ）
A．-25
B．-5
C．5
D．25

6. 难度：中等

平面上A，B，C三点满足：：=1：2：3，则这三点（ ）
A．组成锐角三角形
B．组成直角三角形
C．组成钝角三角形
D．在同一条直线上

7. 难度：中等

设函数f（x）=ln（x-1）（2-x）的定义域是A，函数的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围是（ ）
A．a＞3
B．a≥3
C．
D．

8. 难度：中等

过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

9. 难度：中等

设一个小物体在一个大空间中可以到达的部分空间与整个空间的体积的比值为可达率，现用半径为1的小球扫描检测棱长为10的正方体内部，则可达率落在的区间是（ ）
A．（0.96，0.97）
B．（0.97，0.98）
C．（0.98，0.99）
D．（0.99，1）

10. 难度：中等

如图，阴影是集合P={（x，y）|（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=4，0≤θ≤π}在平面直角坐标系上表示的点集，则阴影中间形如“水滴”部分的面积等于（ ）

A．
B．
C．
D．π+2

二、解答题

11. 难度：中等

函数y=sin（x+15°）+cos（x+60°）的最大值     ．

12. 难度：中等

依次写出数列a₁=1，a₂，a₃，…，a_n（n∈N^*）的法则如下：如果a_n-2为自然数且未写过，则写a_n+1=a_n-2，否则就写a_n+1=a_n+3，则a₆=    ．（注意：0是自然数）

13. 难度：中等

已知A、B是圆O：x²+y²=16上的两点，且|AB|=6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C（1，-1），则圆心M的轨迹方程是    ．

14. 难度：中等

观察下列等式：（x²+x+1）=1；（x²+x+1）¹=x²+x+1；（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1；（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1；…；可能以推测，（x²+x+1）⁵展开式中，第五、六、七项的系数和是     ．

15. 难度：中等

将3个不同的小球放入编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子内，6号盒中至少有一个球的方法种数是     ．

16. 难度：中等

如果实数x，y满足条件，则的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c，若存在正常数m，使f（m）=0，则不等式f（x）＜f（m）的解集是    ．

18. 难度：中等

口袋中有1个红球、2个黄球、3个白球、3个黑球共9个球，从中任取3个球．
（1）求取出的球的颜色不全相同的概率；
（2）记ξ为取出的球的颜色的种数，求随机变量ξ的数学期望Eξ．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值．

20. 难度：中等

有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．若用（m，n）表示小明取球时m与n的对应值，
求关于x的一元二次方程x²-mx+n=0有实数根的概率．

21. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，是否对任意的正实数t，λ，都有成立？请证明你的结论．

22. 难度：中等

设
（1）当λ₁=1，λ₂=0时，设x₁，x₂是f（x）的两个极值点，
①如果x₁＜1＜x₂＜2，求证：f'（-1）＞3；
②如果a≥2，且x₂-x₁=2且x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=f'（x）+2（x-x₂）的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
（2）当λ₁=0，λ₂=1时，
①求函数y=f（x）-3（ln3+1）x的最小值．
②对于任意的实数a，b，c，当a+b+c=3时，求证3^aa+3^bb+3^cc≥9．