2011年广东省惠州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U是实数集R，M={x|x＜-2或x＞2}，N={x|x²-4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．{x|-2≤x＜1}
B．{x|-2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|x＜2}

2. 难度：中等

若复数z=，则|z|=（ ）
A．
B．
C．1
D．

3. 难度：中等

已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a^-x与y=log_ax的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设p是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

现有一个17人的数学学习小组，其最近一次数学能力检测分数如图的茎叶图所示，现将各人分数输入如图程序框图中，则计算输出的结果n=（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

7. 难度：中等

设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x²+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．5
C．
D．

8. 难度：中等

如图，圆C：（x-1）²+（y-1）²=1在直线l：y=x+t下方的弓形（阴影部分）的面积为S，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于    ．

11. 难度：中等

的值为    ．

12. 难度：中等

已知点M（1，-a）和N（a，1）在直线l：2x-3y+1=0的两侧，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

若数列{a_n}满足-=k（k为常数），则称{a_n}为等比差数列，k叫公比差．已知{a_n} 是以2为公比差的等比差数列，其中a₁=1，a₂=2，则a₅=    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B，则|AB|=    ．

15. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点．过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=    ．

16. 难度：中等

已知函数、
（1）当x取什么值时，函数f（x）取得最大值，并求其最大值；
（2）若，且，求sinα、

17. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁，所爬的最短路程为2．
（1）求证：D₁E⊥A₁D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角D₁-EC-D的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

某校组织的一次篮球定点投篮比赛，其中甲、乙、丙三人投篮命中率分别是（0＜a＜1），三人各投一次，用ξ表示三人投篮命中的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

椭圆的一个焦点是F（1，0），已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知Q（x，y）为椭圆上任意一点，求以Q为切点，椭圆的切线方程．
（3）设点P为直线x=4上一动点，过P作椭圆两条切线PA，PB，求证直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点P（S_n，a_n）在直线（3-m）x+2my-m-3=0上，（m∈N^*，m为常数，m≠3）；
（1）求a_n；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足，求证：为等差数列，并求b_n；
（3）设数列{c_n}满足c_n=b_n•b_n+2，T_n为数列{c_n}的前n项和，且存在实数T满足T_n≥T，（n∈N*），求T的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中点为C（x，0），求证：g（x）在x处的导数g′（x）≠0．