2011年河南省洛阳市宜阳实验中学高三3月质量调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．1-i
B．1+i
C．-i
D．i

2. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，若a₃+a₄+a₈=9，则S₉=（ ）
A．24
B．27
C．15
D．54

3. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．，x＞sin
B．∃x∈R，sinx+cosx=2
C．∀x∈R，3^x＞0
D．∃x∈R，lgx=0

4. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n 
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ  
③若m∥α，n∥α，则m∥n  
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

5. 难度：中等

△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ）


A．①②③⑤
B．②③④⑤
C．①②④⑤
D．①②③④

7. 难度：中等

函数f（x）=2^|x-1|-lnx-a恰有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，1）
D．（1，+∞）

8. 难度：中等

若，则sinα+cosα的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．

9. 难度：中等

在区间[0，1]上任取两个实数a、b，则函数在区间（-1，1）上有且仅有一个零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知点F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF₂是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设函数f（x）=（x+a）ⁿ，其中，，则f（x）的展开式中x⁴的系数为（ ）
A．-360
B．360
C．-60
D．60

12. 难度：中等

已知函数时，则下列结论不正确的是（ ）
A．∀x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立
B．∃m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根
C．∀x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
D．∃k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点

二、解答题

13. 难度：中等

已知O为坐标原点，点M（3，2），若N（x，y）满足不等式组，则 的最大值为    ．

14. 难度：中等

给出右面的程序框图，则输出的结果为    ．

15. 难度：中等

一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东60°处，则货轮的航行速度为    里/小时．

16. 难度：中等

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（n）的表达式为    ．

17. 难度：中等

如图，一架飞机原计划从空中A处直飞相距680km的空中B处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B处．已
（1）在飞行路径△ABC中，求tanC；
（2）求新的飞行路程比原路程多多少km．
（参考数据：，）

18. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，
（1）求证：面PBC⊥面ABC
（2）求二面角B-AP-C的余弦值．

19. 难度：中等

中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图，为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．
（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；
（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人
中含有醉酒驾车人数x的分布列和期望．

20. 难度：中等

已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，过F₂作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF₁的内切圆半径r的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）试说明是否存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与无公共点．

22. 难度：中等

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G，
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．