2011年四川省绵阳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合I={ x||x-2|≤2，x∈N^*}，P={ 1，2，3 }，Q={ 2，3，4 }，则∁_I（P∩Q）=（ ）
A．{1，4}
B．{2，3}
C．{1}
D．{4}

2. 难度：中等

若向量、、，满足，则、、满足（ ）
A．一定能构成一个三角形
B．一定不能构成一个三角形
C．都是非零向量时一定能构成一个三角形
D．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

3. 难度：中等

将直线x-y-2=0绕其上一点逆时针方向旋转60？得直线l，则直线l的斜率为（ ）
A．
B．
C．不存在
D．不确定

4. 难度：中等

已知f （x）=sin （x+），g （x）=cos （x-），则下列命题中正确的是（ ）
A．函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为2π
B．函数y=f（x）•g（x）是偶函数
C．函数y=f（x）+g（x）的最小值为-1
D．函数y=f（x）+g（x）的一个单调增区间是[-，]

5. 难度：中等

为了得到函数y=sin（2x-）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

6. 难度：中等

设双曲线的焦点为F₁、F₂，过点F₂作垂直于实轴的弦PQ，若∠PF₁Q=90°，则双曲线的离心率e等于（ ）
A．+1
B．
C．
D．+1

7. 难度：中等

已知x，y满足线性约束条件：，若目标函数z=-x+my取最大值的最优解有无数个，则m=（ ）
A．-3或-2
B．-或
C．2或-3
D．

8. 难度：中等

已知焦点（设为F₁，F₂）在x轴上的双曲线上有一点P（x，），直线y=x线的一条渐近线，当•=0，双曲线的一个顶点坐标是（ ）
A．（，0）
B．（，0）
C．（2，0）
D．（1，0）

9. 难度：中等

若不等式|x-a|-|x|＜2-a²当x∈R时总成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-2，2）
B．（-2，1）
C．（-1，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

10. 难度：中等

已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为Q，点P（x，y）在C上且|y|=•，则|y|=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

11. 难度：中等

已知等腰三角形的面积为，顶角的正弦值是底角正弦值的倍，则该三角形一腰的长为（ ）
A．
B．
C．2
D．

12. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m²|+m²，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．[-5，5]
B．[-，]
C．[-，]
D．[-，]

二、解答题

13. 难度：中等

不等式  ＞1的解是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=sin x-cos （x-），x∈[0，2π），则满足f（x）＞0的x值的集合为    ．

15. 难度：中等

设a＞2b＞0，则（a-b）²+的最小值是    ．

16. 难度：中等

给出下列命题：
①“sinα-tanα＞0”是“α 是第二或第四象限角”的充要条件；
②平面直角坐标系中有三个点A（4，5）、B（-2，2）、C（2，0），则直线AB到直线BC的角为arctan；
③函数f（x）=cos²x+的最小值为2；
④设[m]表示不大于m的最大整数，若x，y∈R，那么[x+y]≥[x]+[y]．
其中所有正确命题的序号是    ．（将你认为正确的结论序号都写上）

17. 难度：中等

设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（a，2b），=（sinA，1），且∥．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，=（cosA，cosB），=（1，sinA-cosAtanB），求•的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB是半圆⊙O：x²+y²=1（y≥0）的直径，C是半圆O（除端点A、B）上的任意一点，在线段AC的延长线上取点P，使|PC|=|BC|，试求动点P的轨迹方程．

19. 难度：中等

某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：在盒子里预先放有大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）．
（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率；
（Ⅱ）设ξ 为该幸运观众摸球停止时所得的奖金数（元），求ξ 的分布列和数学期望Eξ．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²，g （x）=-6x+ln x³（a≠0）．
（Ⅰ）若函数h （x）=f （x）-g （x） 有两个极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程g （x）=x f′（x）-3（2a+1）x  无实数解？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，左焦点到左准线的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C上有不同两点P、Q，且OP⊥OQ，过P、Q的直线为l，求点O到直线l的距离．

22. 难度：中等

已知{ a_n}是等差数列，{ b_n}是等比数列，S_n是{ a_n}的前n项和，a₁=b₁=1，S₂=．
（Ⅰ）若b₂是a₁，a₃的等差中项，求a_n与b_n的通项公式；
（Ⅱ）若a_n∈N^*{}是公比为9的等比数列，求证：+++…＜．