2010年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

命题p：“∃x∈R，x²-x＜0”，那么命题¬p为（ ）
A．∃x∈R，x²-x≥0
B．∃x∈R，x²-x＞0
C．∀x∈R，x²-x≥0
D．∀x∈R，x²-x＜0

3. 难度：中等

已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（ ）
A．0
B．-8
C．2
D．10

4. 难度：中等

已知向量，，若与垂直，则y等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

7. 难度：中等

在数列{a_n}中，若a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N），则通项a_n是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知关于x的二次函数f（x）=ax²-2bx-1，（其中常数a、b∈R），满足，则函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

若，且θ是第三象限角，则sinθ=    ．

10. 难度：中等

过圆O上任意一点A作圆O的切线AP，（O为圆心）；连接PO并延长交圆O于B、C两点，且B、O是PC的三等分点，则弦AB的长为     ．

11. 难度：中等

若的展开式中共有5项，则n=    ．x²项的系数是     ．

12. 难度：中等

已知椭圆（θ为参数），将其化为直角坐标方程是    ．离心率e=    ．

13. 难度：中等

山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有     种不同的选修方案．（用数值作答）

14. 难度：中等

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有给出下列命题：
（1）f（2）=0且T=4是函数f（x）的一个周期；
（2）直线x=4是函数y=f（x）的一条对称轴；
（3）函数y=f（x）在[-6，-4]上是增函数；
（4）函数y=f（x）在[-6，6]上有四个零点．
其中正确命题的序号是     （填上你认为正确的所有序号）

15. 难度：中等

已知函数的图象与函数y=g（x）的图象关于y轴对称；
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）+g（x）＞0．

16. 难度：中等

已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在锐角△ABC中，若，，BC=2，求AC的长．

17. 难度：中等

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金、对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额ξ的分别列与期望．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=的定义域为（1，+∞）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞1）上的最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆C：，（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁、F₂，，离心率．过直线l：上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x²+y²=r²上一点P（x，y）处的切线方程为：xx+yy=r²”．由上述结论类比得到：“过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x，y）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两实根，且a₁=1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（3）问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对∀n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．