2011年湖南省高考数学模拟试卷2（理科)（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-1＜x＜a}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，B⊄A，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，1）
C．1
D．（1，+∞）

2. 难度：中等

已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，首项a₁=0，公差d≠0，若a_m=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，则m=（ ）
A．11
B．12
C．10
D．13

4. 难度：中等

若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ）

A．6
B．6π
C．
D．

5. 难度：中等

已知i为虚数单位，a为实数，复数z=（a-2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

函数的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

7. 难度：中等

已知函数，则对任意x₁，x₂∈R，若0＜|x₁|＜|x₂|，下列不等式成立的是（ ）
A．f（x₁）+f（x₂）＜0
B．f（x₁）+f（x₂）＞0
C．f（x₁）-f（x₂）＞0
D．f（x₁）-f（x₂）＜0

8. 难度：中等

已知双曲线与抛物线y²=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．x±2y=0
D．2x±y=0

二、解答题

9. 难度：中等

某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．s₁，s₂分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则s₁    s₂．（填“＞”、“＜”或“=”）

10. 难度：中等

如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n=    ，展开式中的常数项的值等于    ．

11. 难度：中等

已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为    ．

12. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是    ．

13. 难度：中等

若点P在直线l₁：x+y+3=0上，过点P的直线l₂与曲线C：（x-5）²+y²=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是    ．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=3，DE=2，DF=1，则BD的长为     、AB的长为     ．

16. 难度：中等

在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物中需对某种化学药品的加入量进行反复试验，根据经验，试验效果是该化学药品加入量的单峰函数．为确定一个最好的效果，拟用分数法从33个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，已知A=45°，．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．

18. 难度：中等

某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数	分组	低碳族 的人数	占本组 的频率
1	[25，30）	120	0.6
2	[30，35）	195	P
3	[35，40）	100	0.5
4	[40，45）	a	0.4
5	[45，50）	30	0.3
6	[50，55）	15	0.3

（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；
（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

19. 难度：中等

设数列{a_n}是首项为a₁（a₁＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S_n，且成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n]的通项公式；
（Ⅱ）记的前n项和为T_n，求T_n．

20. 难度：中等

如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值；
（Ⅲ）当M是PA中点时，求二面角M-EF-N的余弦值．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

22. 难度：中等

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．