2011年四川省泸州市高三第一次质量模拟数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（x+2）⁶的展开式中x³的系数是    （用具体数字作答）．

2. 难度：中等

直线与抛物线相交于两点A、B，则|AB|=    ．

3. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA=3，那么直线SB与平面SAC所成角的正弦值为    ．

4. 难度：中等

设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，则对任意a，b∈S，给出下列关系式：①（a*b）*a=a； ②[a*（b*a）]*（a*b）=a；③b*（b*b）=b； ④（a*b）*[b*（a*b）]=b，其中正确命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）．

5. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 A为锐角，若．
（Ⅰ） 求f（A）的取值范围；
（Ⅱ） 若，，求sinB的值．

6. 难度：中等

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．

7. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的大小；
（3）求点C到平面A₁BD的距离．

8. 难度：中等

已知动点H到直线x-4=0的距离与到点（2，0）的距离之比为．
（Ⅰ） 求动点H的轨迹E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．

9. 难度：中等

已知平面直角坐标系下的一列点P_n（a_n，b_n）满足，且．
（Ⅰ） 求点P₂坐标，并写出过点P₁，P₂的直线L的方程；
（Ⅱ） 猜想点P_n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；
（Ⅲ） 若c₁=1，c_n+1=b_nc_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求的值．

10. 难度：中等

设函数f（x）=x²-ax-6和函数，已知过点（3，-28）的两直线与曲线f（x）分别相切于两点A（m₁，f（m₁）），B（m₂，f（m₂）），且是m₁+3与m₂+3的等比中项．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 若函数h（x）=f（x）-g（x）-4lnx在是增函数，求k的取值范围；
（Ⅲ） 设，求证：．

二、选择题

11. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|-3＜x≤2}，B={x|x²-2x-3＜0}，则A∩B=（ ）
A．∅
B．{x|3≤x≤4}
C．{x|0＜x＜3}
D．{x|-1＜x≤2}

12. 难度：中等

复数（i为虚数单位）等于（ ）
A．-1-3i
B．-1+3i
C．1-3i
D．1+3i

13. 难度：中等

下列四个图象所表示的函数，在点x=a处有定义、有极限，但不连续的是（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

设2^a=5^b=m，且，则m=（ ）
A．
B．10
C．20
D．100

15. 难度：中等

函数f（x）=sin2x-cos2x的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

16. 难度：中等

设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

17. 难度：中等

设双曲线的-个焦点为F；虚轴的-个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知{a_n}是递减等比数列，a₂=2，a₁+a₃=5，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是（ ）
A．[12，16）
B．[8，16）
C．
D．

19. 难度：中等

已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（ ）
A．4π
B．3π
C．2π
D．π

20. 难度：中等

某企业生产A、B两种产品，A产品的单位利润为60元，B产品的单位利润为80元．两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产．每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8小时和2.4小时，每件B产品在两个车间都需经过1.6小时．在一定时期中，加工车间最大加工时间为240小时，装配车间最大生产时间为288小时．已知销路没有问题，在此一定时期中，企业合理搭配生产A产品和B产品，可获得的最大利润是（ ）
A．12000元
B．12600元
C．12680元
D．13600元

21. 难度：中等

设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种
B．49种
C．48种
D．47种

22. 难度：中等

设a，b∈[0，1]，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1