2010年江西省名校高考数学信息卷2（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于（ ）
A．1
B．
C．
D．-2

2. 难度：中等

（理科） 若y=log₂（1-i）（1-xi）（x∈R）有意义，则x=（ ）
A．
B．
C．-1
D．2

3. 难度：中等

（文科） 若y=log₂有意义，则（ ）
A．x≥
B．x＞
C．x≥
D．x＞

4. 难度：中等

设集合A={x||x-2|≤2，x∈R}，B={y|y=-x²，-1≤x≤2}，则∁_R（A∩B）等于（ ）
A．R
B．{x|x∈R，x≠0}
C．{0}
D．∅

5. 难度：中等

已知向量=（k，12），=（ 4，5 ），=（-k，10 ），且A、B、C三点共线，则 k 的值是（ ）
A．-
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=coswx （ w＞0 ）的最小正周期为4π，则函数f（x）的一条对称轴方程为（ ）
A．x=π
B．x=
C．x=
D．x=0

7. 难度：中等

在正项等比数列{ a_n }中，若a₂•a₄•a₆=8，则log₂a₅-log₂a₆=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若m、n是空间两条不同的直线，α、β、γ 为三个互不重合的平面，则下列命题：
①m⊥n，α∥β，α∥m 得出 n⊥β；
②α⊥γ，β⊥γ，得出 α⊥β；
③α⊥m，m⊥n 得出α∥n；
④若m、n与 α所成的角相等，则m∥n．
其中错误命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=x³+ax²+（a-3）x的导函数是f′（x），若f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（ ）
A．y=-3
B．y=-2
C．y=3
D．y=2

10. 难度：中等

若函数f（x）=|x-2|+|x+2|的最小值为n，则（-）ⁿ的展开式中的常数项是（ ）
A．第二项
B．第三项
C．第四项
D．第五项

11. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B为曲线  上的动点，若=，则向量与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），其中a是常数，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆孤，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）
A．1-
B．
C．1-
D．与a的取值有关

14. 难度：中等

设抛物线y²=4x的焦点为F，过点M（-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

15. 难度：中等

某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400人，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高中部的学生数为    ．

16. 难度：中等

现将10个扶贫款的名额分配给某乡镇不同的四个村，要求一个村1个名额，一个村2个名额，一个村3个名额，一个村4个名额，则不同的分配方案种数为    ．

17. 难度：中等

在实数的原有运算中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b²．设函数f（x）=（1⊕x）x-（2⊕x），x∈[-2，2]，则函数f（x）的值域为    ．

18. 难度：中等

已知长方形ABCD的一组邻边长分别为3、4，沿对角线AC折成一个三棱锥，若记二面角B-AC-D的大小为θ（ 0＜θ＜），则该三菱锥的外接球的体积为    ．

19. 难度：中等

已知、是不共线的向量，且=（5cosα，5sinα），=（5cosβ，5sinβ）
（1）求证：+与-垂直．
（2）若|+|=，求cos（α-β）

20. 难度：中等

在环保知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关水体净化知识的问题，甲答对的概率是，甲、丙两人都打错的概率是，乙、丙两人都答对的概率是．
求：（1）乙、丙两人各自答对这道题目的概率．
（2）（理做）答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望．
（文做）甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目的概率．

21. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一个矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4，
∠PAD=60°．求：
（1）四棱锥P-ABCD的体积．
（2）二面角P-BC-D的正切值．

22. 难度：中等

已知f（x）=lnx-x²+bx+3．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（2，y）处的切线与直线2x+y+2=0垂直，求函数f（x）在区间[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[1，m]上单调，求b的取值范围．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在x=-与x=1时都取得极值．求：
（1）求a、b的值
（2）若对x∈[-1，2]，有f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

24. 难度：中等

（理科）已知数列{ a_n }的前n项和为S_n，a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N*．
（1）求S_n
（2）若a_n+1＞a_n，n∈N*，求a的取值范围．

25. 难度：中等

（文科）数列{ a_n }中，a₁=t，a₂=t²，（t≠1）．x=是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）证明数列[a_n-1-a_n]是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=2（1-），当t=2时，数列{bn}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值．

26. 难度：中等

已知双曲线x²-2y²=2的左、右焦点分别是F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求动点P的轨迹E的过程．
（2）设过点F₂且不垂直与坐标轴的动直线a交轨迹E与A、B两点，试问在y轴上是否存在一点D使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，试判断点D的活动范围：若不存在，试说明理由．