2009年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=sinα•cosα的最小正周期为（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-x=0}，B={x|-1＜x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{0，1}
D．∅

3. 难度：中等

已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）
A．6万元
B．8万元
C．10万元
D．12万元

5. 难度：中等

已知A（-1，a）、B（a，8）两点的直线与直线2x-y+1=0平行，则a的值为（ ）
A．-10
B．17
C．5
D．2

6. 难度：中等

已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．a²＞b²
C．lg（a-b）＞0
D．

7. 难度：中等

阅读如图的程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）
A．i＞5
B．i＜6
C．i＜7
D．i＞8

8. 难度：中等

如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（ ）
A．命题p一定是真命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q可以是真命题也可以是假命题
D．命题q一定是假命题

9. 难度：中等

（易线性表示）已知平面内不共线的四点0，A，B，C满足，则=（ ）
A．3：1
B．1：3
C．2：1
D．1：2

10. 难度：中等

在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

椭圆的离心率为    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有S_n=2a_n-1，则a₁的值为    ，数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积为    cm²，体积为    ．cm³．

14. 难度：中等

在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为    ．

15. 难度：中等

已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，，则线段PB的长为    ．

16. 难度：中等

某校高一年级要从3名男生a，b，c和2名女生d，e中任选3名代表参加学校的演讲比赛．
（1）求男生a被选中的概率；
（2）求男生a和女生d至少一人被选中的概率．

17. 难度：中等

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，．
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．

18. 难度：中等

如图，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任=A意一点，A₁A=AB=2．
（1）求证：BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值．

19. 难度：中等

设A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）是抛物线x²=4y上不同的两点，且该抛物线在点A、B处的两条切线相交于点C，并且满足．
（1）求证：x_1•x₂=-4；
（2）判断抛物线x²=4y的准线与经过A、B、C三点的圆的位置关系，并说明理由．

20. 难度：中等

某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件．设加工A 型零件的工人人数为x名（x∈N^*）
（1）设完成A 型零件加工所需时间为f（x）小时，写出f（x）的解析式；
（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两实根，且a₁=1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（3）问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对∀n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．