2007年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={ m|m=iⁿ，n∈N}，则下面属于M的元素是（ ）
A．（1-i）+（1+i
B．（1-i）（1+i
C．
D．（1-i）²

2. 难度：中等

已知函数f（x）=kcosx的图象经过点P（，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于（ ）
A．1
B．
C．
D．-1

3. 难度：中等

在的展开式中的常数项是（ ）
A．7
B．-7
C．28
D．-28

4. 难度：中等

设P为双曲线上的一点且位在第一象限．若F₁、F₂为此双曲线的两个焦点，且且|PF₁|：|PF₂|=3：1，则△F₁PF₂的周长等于（ ）
A．22
B．16
C．14
D．12

5. 难度：中等

已知、是非零向量且满足（-2）⊥，（-2）⊥，则与的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，A，B，C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9，0.8，0.7，如果系统中至少有1个开关能正常工作，那么该系统正常工作的概率是（ ）

A．0.504
B．0.496
C．0.994
D．0.06

7. 难度：中等

设l，m，n是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中正确的是（ ）
A．当n∥α时，“n∥β”是“α∥β”成立的充要条件
B．当m⊂α且n是l在α内的射影时，“m⊥n，”是“l⊥m”的必要不充分条件
C．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件
D．当m⊂α，且n不在α内时，“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

函数，若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

有两个同心圆，在外圆周上有不重合的六个点，在内圆周上有不重合的三个点，由这九个点确定的直线最少有（ ）
A．36条
B．33条
C．21条
D．18条

10. 难度：中等

在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=60°，则tan²∠OPQ的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．以上均不正确

二、解答题

11. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，设=（-t，2），=（-3，t），则线段BC中点M（x，y）的轨迹方程是    ．

12. 难度：中等

若ξ的分布列为：

x		1
P	P	q

其中p∈（0，1），则Eξ=    ，Dξ=    ．

13. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若m＞1，a_m-1+a_m+1-a_m²=0，S_2m-1=78，则m=    ．

14. 难度：中等

设A={x|2≤x≤π，x∈R}，定义在集合A上的函数y=log_ax（a＞0且a≠1）的最大值比最小值大1，则底数a的值是    ．

15. 难度：中等

设n为正整数，坐标平面上有一等腰三角形，它的三个顶点分别是（0，2）、（，0）、（，0），设此三角形的外接圆直径长等于D_n，则=    ．

16. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，点P（x，y ）满足条件：（|x|+-1 ） （|x|+-2 ） （|x|+-3 ）＜0，则点P所在区域的面积为    ．

17. 难度：中等

三棱锥S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：
①异面直线SB与AC所成的角为90°； 
②直线SB⊥平面ABC； 
③面SBC⊥面SAC； 
④点C到平面SAB的距离是．
其中正确结论的序号是    ．

18. 难度：中等

（1）请写出一个各项均为实数且公比0＜q＜1的等比数列，使得其同时满足a₁+a₆=11且；
（2）在符合（1）条件的数列中，能否找到一正偶数m，使得这三个数依次成等差数列？若能，求出这个m的值； 若不能，请说明理由．

19. 难度：中等

设函数f（x）=2cosx （cosx+sinx）-1，x∈R
（1）求f（x） 最小正周期T；
（2）求 f（x） 单调递增区间；
（3）设点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n） （n∈N^*）在函数f（x）的图象上，且满足条件：x₁=，x_n+1-x_n=，求N_n=y₁+y₂+…+y_n 的值．

20. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=120°，又PC⊥平面ABCD，PC=a，E是PA的中点．
（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求直线PB与直线DE所成的角的余弦值；
（3）设二面角A-BE-D的平面角为θ，求cosθ的值．

21. 难度：中等

已知直线l：y=kx+k+1，抛物线C：y²=4x，定点M（1，1）．
（I）当直线l经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；
（II）当k（k≠0）变化且直线l与抛物线C有公共点时，设点P（a，1）关于直线l的对称点为Q（x，y），求x关于k的函数关系式x=f（k）；若P与M重合时，求x的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．
（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M、N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内总存在m+1个实数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．