2011年福建省福州市高三3月质量检查数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数z=（a²-3a+2）+（a-1）i为纯虚数，则实数a的值（ ）
A．等于1或2
B．等于1
C．等于2
D．不存在

2. 难度：中等

曲线f（x）=x³+x-2在p处的切线平行于直线y=4x-1，则p点的坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（2，8）
C．（2，8）和（-1，-4）
D．（1，0）和（-1，-4）

3. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

4. 难度：中等

给出下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；    
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④

5. 难度：中等

某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

x	1.99	3	4	5.1	6.12
y	1.5	4.04	7.5	12	18.01

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A．y=2x-2
B．y=（）^x
C．y=log₂
D．y=（x²-1）

6. 难度：中等

设的最大值为（ ）
A．80
B．
C．25
D．

7. 难度：中等

已知均为单位向量，那么是的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

8. 难度：中等

某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（ ）

A．1
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF₁F₂的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有
（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．4

10. 难度：中等

已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x₁、x₂，不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，则不等式f（1-x）＜0的解集为（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，+∞）
C．（-∞，0）
D．（-∞，1）

二、解答题

11. 难度：中等

二项式的展开式中第六项的系数等于    （用数字作答）

12. 难度：中等

若等比数列{a_n}的首项为，且a₄=∫₁⁴（1+2x）dx，则公比等于     ．

13. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如上图所示，根据图中的信息，
在四棱锥P-ABCD的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为    ．

14. 难度：中等

在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x²+2ax-b²+π²有零点的概率为    ．

15. 难度：中等

将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表、从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第    行；第61行中1的个数是    ．
第1行1    1
第2行1   0   1
第3行1   1  1   1
第4行1   0  0  0   1
第5行1  1   0  0   1   1
…

16. 难度：中等

已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）如图，函数f（x）在[-1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求与的夹角的余弦．

17. 难度：中等

“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
（Ⅰ）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
（Ⅱ）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列及其期望．

18. 难度：中等

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°．

19. 难度：中等

已知点M（k，l）、P（m，n），（klmn≠0）是曲线C上的两点，点M、N关于x轴对称，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），
（Ⅰ）用k、l、m、n分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）当曲线C的方程分别为：x²+y²=R²（R＞0）、时，探究x_E•x_F的值是否与点M、N、P的位置相关；
（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为y²=2px（p＞0）时，探究x_E与x_F经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论．

20. 难度：中等

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）当 a=1时，设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，g（x₂））（x₁＞0，x₂＞0），且PQ∥x轴，求P、Q两点间的最短距离；
（Ⅲ）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．求矩阵M．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（α是参数）．
现以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，写出曲线C的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
解不等式|2x+1|-|x-4|＞2．