2011年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数a的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．2

2. 难度：中等

已知集合M={x|-3＜x＜0}，N={x|-1≤x≤1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．[-1，1）
B．（-3，-1）
C．（-∞，-3]∪[-1，+∞）
D．（-3，1]

3. 难度：中等

若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+2cos2α的值是（ ）
A．-
B．-
C．-2
D．

4. 难度：中等

已知{a_n}是首项为1的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和，且9S₃=S₆，则数列的前5项和为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设F₁、F₂分别是双曲线x²-=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（ ）
A．
B．2
C．
D．2

6. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示．此时连接顶点B、D形成三棱锥B-ACD，则其侧视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟．有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是（ ）

A．680
B．320
C．0.68
D．0.32

8. 难度：中等

用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．18
B．108
C．216
D．432

9. 难度：中等

已知定义域为R的偶函数f（x）在（-∞，0]上是减函数，且=2，则不等式f（log₄x）＞2的解集为（ ）
A．
B．（2，+∞）
C．
D．

10. 难度：中等

天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元（n∈N^*），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少）为止，一共使用了（ ）
A．600天
B．800天
C．1000天
D．1200天

11. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，，则三棱锥P-ANC与四棱锥P-ABCD的体积比为（ ）

A．1：2
B．1：3
C．1：6
D．1：8

12. 难度：中等

设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（ ）
A．-1＜k≤
B．≤k＜1
C．k＞-1
D．k＜1

二、解答题

13. 难度：中等

命题“∃x∈R，2x²-3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

2¹×1=2，2²×1×3=3×4，2³×1×3×5=4×5×6，2⁴×1×3×5×7=5×6×7×8，…依此类推，第n个等式为    ．

15. 难度：中等

给出下列六种图象变换方法：
（1）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
（2）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
（3）图象向右平移个单位；
（4）图象向左平移个单位；
（5）图象向右平移个单位；
（6）图象向左平移个单位．
请用上述变换中的两种变换，将函数y=sinx的图象变换到函数y=sin（+）的图象，那么这两种变换正确的标号是    （要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可）．

16. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为    ．

17. 难度：中等

在海岛A上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站P．有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C处．
（1）求船的航行速度；
（2）求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA₁，D为AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求二面角D-CA₁-C₁的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．
（1） 求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2） 用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格______的人数，求X的分布列及数学期望；
（3） 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．

20. 难度：中等

已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，D是AB的中点．
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）过点N（1，0）作与x轴不垂直的直线l，交曲线C于P、Q两点，若在线段ON上存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，试求m的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；
（3）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＞4．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程选讲．
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

24. 难度：中等

已知，a≠b，求证：|f（a）-f（b）|＜|a-b|．