2011年上海市八校区重点（新八校）高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m²}．若B⊆A，则实数m=    ．

2. 难度：中等

复数对应复平面上的点Z在第    象限．

3. 难度：中等

已知，则x的値为    ．

4. 难度：中等

以点（±3，0）为焦点，且渐近线为的双曲线标准方程是    ．

5. 难度：中等

已知的展开式中，所有二项式系数的和为32，其展开式中的常数项为    （用数字答）．

6. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆+=1的两个焦点，过F₁的直线交椭圆于A、B两点．若|F₂A|+|F₂B|=12，则|AB|=    ．

7. 难度：中等

函数的最小正周期是    ．

8. 难度：中等

已知函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），若函数y=f（x-1）的图象经过点（3，1），则f^-1（1）的值是    ．

9. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是    ．

10. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）对于任意的x∈R，都有f（x+2）=-f（x）成立，设a_n=f（n），则数列{a_n}中值不同的项最多有    项．

11. 难度：中等

上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的概率是    ．

12. 难度：中等

如图，底面直径为20的圆柱被与底面成60°二面角的平面所截，截面是一个椭圆，则此椭圆的焦距为    ．

13. 难度：中等

观察以下等式：1=1²，2+3+4=3²，3+4+5+6+7=5²，…，将上述等式推广到一般情形：对n∈N^*，有等式：    ．

14. 难度：中等

在实数R中定义一种运算“*”，具有下列性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b，c∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c．
则函数x∈R的单调递减区间是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

圆x²+y²-2y-1=0关于直线x+y=0对称的圆方程是（ ）
A．
B．（x+1）²+y²=2
C．
D．（x-1）²+y²=2

17. 难度：中等

定义：称为n个正数a₁，a₂，…，a_n的“均倒数”，已知正项数列{a_n}的前n项的“均倒数”为，则（ ）
A．0
B．1
C．2
D．

18. 难度：中等

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：
取函数f（x）=a^-|x|（a＞1）．当时，函数f_k（x）值域是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足
（1）求A的大小； （2）若a=2，，且b＞c，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁．
（1）求几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积；
（2）求直线BD₁与面A₁BC₁所成角的大小．（用反三角表示）

21. 难度：中等

已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，点C在直线l上．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设过定点F，法向量的直线与（1）中的轨迹相交于A，B两点且点A在x轴的上方，判断∠ACB能否为钝角并说明理由．进一步研究∠ABC为钝角时点C纵坐标的取值范围．

22. 难度：中等

对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x²+3x和个g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函数f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（3）试利用“基函数f（x）=log₄（4+1）、g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．

23. 难度：中等

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数的图象上，且数列{a_n} 是a₁=1，公差为d的等差数列．
（1）证明：数列{b_n} 是等比数列；
（2）若公差d=1，以点P_n的横、纵坐标为边长的矩形面积为c_n，求最大的实数t，使（t∈R，t≠0）对一切正整数n恒成立；
（3）对（2）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个3（如在a₁与a₂之间插入3个3，a₂与a₃之间插入3¹个3，a₃与a₄之间插入3²个3，…，依此类推），得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列{d_n}的前n项和，试探究2008是否为数列{S_n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．