2011年辽宁省锦州市高考数学三模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，}，A={1，3，5，7，}，B={3，5}，则下列式子一定成立的是（ ）
A．C_∪B⊆C_∪A
B．（C_∪A）∪（C_∪B）=U
C．A∩C_∪B=∅
D．B∩C_∪A=∅

2. 难度：中等

若纯虚数z满足（2-i）z=4+bi，则实数b等于（ ）
A．-2
B．2
C．-8
D．8

3. 难度：中等

设l，m，n是空间三条直线，α，β是空间两个平面，给出下列命题：①当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件；②当m⊂α且n是l在α内的射影时，“m⊥n，”是“l⊥m”的充分不必要条件；③当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件；④当m⊂α，且n⊄α时，“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件；则其中不正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

把函数Ⅰy=sin（ωx+φ）…（ω＞0，|φ|＜π）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是y=sinx，则（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）
A．2
B．-
C．-3
D．

6. 难度：中等

点P为双曲线C₁：和圆C₂：x²+y²=a²+b²的一个交点，且2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，其中F₁，F₂为双曲线C₁的两个焦点，则双曲线C₁的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s₁，s₂分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

偶函数f（x）在（-∞，+∞）内可导，且f'（1）=-2，f（x+2）=f（x-2），则曲线y=f（x）在点（-5，f（-5））处切线的斜率为（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

9. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a₁，a₃，a₄成等比关系，S_n为{a_n}的前n项和，则的值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．不存在

10. 难度：中等

给定抛物线C：y²=4x，F是其焦点，过F的直线l：y=k（x-1），它与C相交于A、B两点．如果且．那么k的变化范围是（ ）
A．[]
B．
C．[]∪[-，-]
D．（-∞，-]∪[，+∞）

11. 难度：中等

12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A．C₈²A₃²
B．C₈²A₆⁶
C．C₈²A₆²
D．C₈²A₅²

12. 难度：中等

某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A．30
B．25
C．20
D．15

13. 难度：中等

设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（ ）
A．-1＜k≤
B．≤k＜1
C．k＞-1
D．k＜1

二、解答题

14. 难度：中等

若二项式的展开式中的常数项为-160，则=    ．
（文科）下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，

月  份x	1	2	3	4
用水量y	4.5	4	3	2.5

由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程
是    ．

15. 难度：中等

已知向量和的夹角为120°，，则=    ．

16. 难度：中等

已知实数x，y满足，则2^x+y-2的最大值为    ．

17. 难度：中等

给出以下四个命题：①若cosαcosβ=1，则sin（α+β）=0；②已知直线x=m与函数的图象分别交于点M，N，则|MN|的最大值为；③若数列a_n=n²+λn（n∈N₊）为单调递增数列，则λ取值范围是λ＜-2；④已知数列a_n的通项，其前n项和为S_n，则使S_n＞0的n的最小值为12．其中正确命题的序号为    ．

18. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

19. 难度：中等

一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．试求出该考生：
（Ⅰ）得60分的概率；（Ⅱ）得多少分的可能性最大？
（Ⅲ）所得分数ξ的数学期望（用小数表示，精确到0．k^s*5#u01）．
（文科）投掷一个质地均匀，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4．将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
（Ⅰ）求点P落在区域C：x²+y²≤10上的概率；
（Ⅱ）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．

20. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．
（文科）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．

21. 难度：中等

已知点A（0，1）、B（0，-1），P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，△QMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtanMQN恒成立，求λ的最小值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=2e^2x+2x+sin2x．（Ⅰ）试判断函数f （x）的单调性并说明理由；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，1]，不等式组恒成立，求实数k的取值范围．

23. 难度：中等

选做题
如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H．求证：
（Ⅰ）C，D，F，E四点共圆；
（Ⅱ）GH²=GE•GF．

24. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．

25. 难度：中等

证明：
（1）已知x，y都是正实数，求证：x³+y³≥x²y+xy²，
（2）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求证：．