2011年安徽省知名省级示范高中第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={5，log₂（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，则b-a=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

若复数是纯虚数，则角α的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．

3. 难度：中等

若“x²＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．-2

4. 难度：中等

某几何体的直观图如图所示，则该几何体的侧（左）视图的面积为（ ）

A．5πa²
B．5a²
C．
D．

5. 难度：中等

项数大于3的等差数列{a_n}中，各项均不为零，公差为1，且．则其通项公式为（ ）
A．n-3
B．n
C．n+1
D．2n-3

6. 难度：中等

已知两个单位向量的夹角为θ，则下列结论不正确的是（ ）
A．方向上的投影为cosθ
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

满足条件的点构成的区域的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．

9. 难度：中等

函数y=log₂（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12

10. 难度：中等

设函数f（x）=g（2x-1）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．x-6y-2=0
B．6x-y-2=0
C．6x-3y-1=0
D．y-2=0

二、解答题

11. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的B=    ．

12. 难度：中等

已知（a+x）⁵的展开式中x²的系数为的展开式中x的系数为k₂，则k₁•k₂    ．

13. 难度：中等

已知取最大值时，a的最小值为    ．

14. 难度：中等

点P是椭圆与圆C₂：x²+y²=a²-b²的一个交点，且2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，其中F₁、F₂分别为椭圆C₁的左右焦点，则椭圆C₁的离心率为    ．

15. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过对角线BD₁的一个平面交AA₁于E，交CC₁于F，得四边形BFD₁E，给出下列结论：
①四边形BFD₁E有可能为梯形
②四边形BFD₁E有可能为菱形
③四边形BFD₁E在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形BFD₁E有可能垂直于平面BB₁D₁D
⑤四边形BFD₁E面积的最小值为
其中正确的是    （请写出所有正确结论的序号）

16. 难度：中等

已知函数．
（I）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（II）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求a的值．

17. 难度：中等

为了解我区中学生的体质状况及城乡大学生的体质差异，对银川地区部分大学的学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查．现随机抽取100名学生，测得其身高情况如下表所示．
（1）请在频率分布表中的①、②、③位置填上相应的数据，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
（2）若按身高分层抽样，抽取20人参加2011年庆元旦“步步高杯”全民健身运动其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于170Ccm”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．

18. 难度：中等

设双曲线的两条渐近线l₁，l₂与以点（1，0）为圆心，为半径的圆相切．
（I）求a的值；
（II）若双曲线C的两个焦点分别为F₁、F₂，A、B分别为l₁，l₂上的点，且2|AB|=3|F₁F₂|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

19. 难度：中等

如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC，
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
（3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3b₁=3，a₂=6，b_n+1=2b_n-2ⁿ，b_n=a_n-na_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（I）探究数列是等差数列还是等比数列，并由此求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{na_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx．
（I）当a=-1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，且AB的中点为C（x，0），求证：f′（x）＜0．