2011年福建省厦门市高三质量检查数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∀x∈R，x²≥
B．命题“若x=1，则x²=1”的逆命题
C．∃x∈R，x²≥x=1，则x²=1
D．命题“若x≠y，则sinx≠siny”的逆否命题

4. 难度：中等

已知||=2，是单位向量，且夹角为60°，则等于（ ）
A．1
B．
C．3
D．

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比q=2，其前4项和S₄=60，则a₂等于（ ）
A．8
B．6
C．-8
D．-6

6. 难度：中等

双曲线的一个焦点是（0，2），则实数m的值是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

7. 难度：中等

执行如图的程序框图，输出的S等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数，这两个函数图象的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中的正确的是（ ）
A．若α∥β，m∥α，则m∥β
B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若α⊥β，m⊥β，则m⊥α
D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β

10. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（ ）
A．
B．y=2cos²
C．y=2sin²
D．y=-cos2

11. 难度：中等

已知点，若zmx+3y的最大值为8，则实数k等于（ ）
A．-6
B．-16
C．6
D．16

12. 难度：中等

如下四个函数：
①f（x）=sinx②f（x）=x²+2x-1③f（x）=-x³+4x+2④
性质A：存在不相等的实数x₁、x₂，使得
性质B：对任意0＜x₂＜x₃＜1，总有f（x₁）＜f（x₂）
以上四个函数中同时满足性质A和性质B的函数个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、解答题

13. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+x在点（1，f（1））处的切线斜率为6，则实数a=    ．

14. 难度：中等

设抛物线的顶点在原点，其焦点F在x轴上，抛物线上的点P（2，k）与点F的距离为3，则抛物线方程为    ．

15. 难度：中等

AB是半径为1的圆的直径，在AB上任意一点M，过点M作垂直于AB的弦，则弦长大于的概率是    ．

16. 难度：中等

把正整数1，2，3，4，5，6，…按某种规律填入下表，

	2			6			10			14
1		4	5		8	9		12	13		…
	3			7			11			15

按照这种规律继续填写，2011出现在第    行第    列．

17. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，它的正视图和俯视图都是直角三角形，图中尺寸单位为cm．
（I）在正视图右边的网格内，按网格尺寸和画三视图的要求，画出三棱锥的侧（左）视图；
（II）证明：CD⊥平面ABD；
（III）按照图中给出的尺寸，求三棱锥A-BCD的侧面积．

18. 难度：中等

某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对400名高一学生的一周课外体育锻炼时间进行调查，结果如下表所示

锻炼时间（分钟）	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100）	[100，120）
人数	40	60	80	100	80	40

（I）完成频率分布直方图，并估计该中学高一学生每周参加课外体育锻炼时间的众数；
（II）现采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，
2中课外体育锻炼时间在[80，120]分钟内的学生应抽取多少人？
②若从①中被抽取的学生中随机抽取2名，求这2名学生课外体育锻炼时间均在[80，100）分钟内的概率．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且asinB=bcosA．
（I）求角A的大小；
（II）若a=1，且△ABC的面积为，求b与c的值．

20. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，第二象限内的点P在椭圆上，以P为圆心的圆与x轴相切于点F₁．
（I）若a=3，∠F₁PF₂=60°，求圆P的方程；
（II）若|F₁F₂|=4，且圆P与y轴相交，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

现在“汽车”是很“给力”的名词．汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n和前n年累计维修费S_n（万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点（n，S_n）在函数y=ax²+bx（a≠0）的图象上（如图所示），其中A（5，1.05）、B（10，4.1）．
（1）求出累计维修费S_n关于使用年数n的表达式，并求出第n年得维修费；
（2）汽车开始使用后每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担．若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值．（年平均耗资费=）

22. 难度：中等

已知函数f（x）=，g（x）=sinx-x（其中常数a，b∈R，π是圆周率）．
（I）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；
（II）求函数f（x）的单调递增区间；
（III）当b=0，a∈（，π]时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．