2010年上海市普陀区高考数学二模试卷 （理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知C₁₀^2x-C₁₀^x+1=0，则x=    ．

2. 难度：中等

设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f^-1（x）．若已知f（4）=2，则f^-1（-2）=    ．

3. 难度：中等

函数的定义域是    ．

4. 难度：中等

已知，，则tan2x=    ．

5. 难度：中等

已知椭圆的参数方程为（θ∈R），则该椭圆的焦距为    ．

6. 难度：中等

设（x∈R），则方程f（x）=0的解集为    ．

7. 难度：中等

不等式（|x|-2）（x-1）≥0的解集为    ．

8. 难度：中等

一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是    ．

9. 难度：中等

在复平面上，已知直线l上的点所对应的复数z满足|z+i|=|z-3-i|，则直线l的倾斜角为    ．（结果反三角函数值表示）

10. 难度：中等

将一个半圆面围成圆锥的侧面，则其任意两条母线间夹角的最大值为    ．

11. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若，，且∠BAD=60°，则=    ．

12. 难度：中等

平面直角坐标系中，已知点P（1，0），P₁（2，1），且（n∈N^*）．当n→+∞时，点P_n无限趋近于点M，则点M的坐标为    ．

13. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=2，，．以点B为圆心，线段BC的长为半径的半圆分别交AB所在直线于点E、F，交线段AC于点D，则弧的长约为    ．（精确到0.01）

14. 难度：中等

在（x+1）⁹的二项展开式中任取2项，p_i表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率．若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i，则随机变量ξ的数学期望Eξ=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知条件p：x＞1，条件q：，则p是q成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

16. 难度：中等

已知抛物线x²+my=0上的点到定点（0，4）和到定直线y=-4的距离相等，则m=（ ）
A．
B．
C．16
D．-16

17. 难度：中等

四棱锥P-ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（ ）

A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

若函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

三、解答题

19. 难度：中等

已知a∈R，
命题p：实系数一元二次方程x²+ax+2=0的两根都是虚数；
命题q：存在复数z同时满足|z|=2且|z+a|=1．
试判断：命题p和命题q之间是否存在推出关系？请说明你的理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n} 的首项为1，前n项和为S_n，且满足a _n+1=3S_n，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=log₄a_n．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）当n∈N^*时，试比较b₁+b₂+…+b_n与与（n-1）²的大小，并说明理由．

21. 难度：中等

一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件．经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S（件）与电视广告每天的播放量n（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现．
（1）试写出该产品每天的销售量S（件）关于电视广告每天的播放量n（次）的函数关系式；
（2）要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？

22. 难度：中等

定义变换T：可把平面直角坐标系上的点P（x，y）变换到这一平面上的点P′（x′，y′）．特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程．并求出当时，其两个焦点F₁、F₂经变换公式T变换后得到的点F_1^′和F₂^′的坐标；
（2）当时，求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T：（，k∈Z）下的不动点的存在情况和个数．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中a²+b²≠0且ω＞0．设．
（1）若，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在区间[0，2π]内的解集；
（2）若点A是过点（-1，1）且法向量为的直线l上的动点．当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x²+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值；
（3）根据本题条件我们可以知道，函数f（x）的性质取决于变量a、b和ω的值．当x∈R时，试写出一个条件，使得函数f（x）满足“图象关于点对称，且在处f（x）取得最小值”．