2011年上海市五校联合调研数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合等于    ．

2. 难度：中等

若，则行列式=    ．

3. 难度：中等

已知a∈R，若（1-ai）（3+2i）为纯虚数，则a的值为    ．

4. 难度：中等

若的值为    ．

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₃•a₉=2a₅，a₂=1，则a₁=    ．

6. 难度：中等

设f（x）的反函数为f^-1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f^-1（2x+1）=1，则x=    ．

7. 难度：中等

甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人中至少有一人达标的概率是    ．

8. 难度：中等

在极坐标系中，已知点，C是曲线ρ=2cosθ上任意一点，则△ABC的面积的最小值等于    ．

9. 难度：中等

程序框图如图所示，将输出的a的值依次记为a₁，a₂，…a_n，那么数列{a_n} 的通项公式为a_n=    ．

10. 难度：中等

在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°东经120°有一座城市B，设地球半径为R，则A、B两地之间的距离是    ．

11. 难度：中等

已知点及抛物线上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值为    ．

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象是开口向下的抛物线，且对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x），若向量，则满足不等式的实数m的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[-1.5]=2．若函数（a＞0，a≠1），则g（x）=[f（x）-]+[f（-x）-]的值域为    

14. 难度：中等

已知数列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：
①数列0，1，3具有性质P；
②数列0，2，4，6具有性质P；
③若数列A具有性质P，则a₁=0；
④若数列a₁，a₂，a₃（0≤a₁＜a₂＜a₃）具有性质P，则a₁+a₃=2a₂．
其中真命题有    ．

二、选择题

15. 难度：中等

a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7平行的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

16. 难度：中等

下列四个命题中真命题是（ ）
A．同垂直于一直线的两条直线互相平行
B．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
C．底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个

17. 难度：中等

随机变量ξ的分布律如下，其中a、b、c为等差数列，若，则D（ξ）的值为（ ）

ξ	-1		1
P（ξ）	a	b	c

A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零常数l，使得对于任意x⊆M（M⊆D）都有f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数，l是一个高调值．
现给出下列命题：
①函数f（x）=为R上的高调函数；
②函数f（x）=sin2x为R上的高调函数
③若函数f（x）=x²+2x为（-∞，1]上的高调函数，则高调值l的取值范围是（-∞，-4]．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

三、解答题

19. 难度：中等

已知复数z₁=sin2x+λi，，且z₁=z₂．
（1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值；
（2）设λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调减区间．

20. 难度：中等

如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（1）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的大小．
（2）若二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

21. 难度：中等

某地区的农产品A第x天（1≤x≤20，x∈N^*）的销售价格p=50-|x-6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20，x∈N^*）农产品A的销售量q=a+|x-8|（百斤）（a为常数），且该农户在第7天销售农产品A的销售收入为2009元．
（1）求该农户在第10天销售农产品A的销售收入是多少？
（2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？

22. 难度：中等

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）过N（2，0）作直线l交曲线W于A，B两点，使得|AB|=2，求直线l的方程．
（3）若从动点P向圆C：x²+（y-4）²=1作两条切线，切点为A、B，令|PC|=d，试用d来表示，并求的取值范围．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=，
其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（2）证明：当λ≠18时，数列 {b_n} 是等比数列；
（3）设S_n为数列 {b_n} 的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．